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Núcleo (estadística)

El término núcleo se utiliza en el análisis estadístico para referirse a una función de ventana . El término "núcleo" tiene varios significados distintos en diferentes ramas de ...

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El término núcleo se utiliza en el análisis estadístico para referirse a una función de ventana . El término "núcleo" tiene varios significados distintos en diferentes ramas de la estadística.

estadística bayesiana

En estadística, especialmente en estadística bayesiana , el núcleo de una función de densidad de probabilidad (fdp) o función de masa de probabilidad (fmp) es la forma de la fdp o fmp en la que se omiten los factores que no son funciones de ninguna de las variables del dominio. [ 1 ] Cabe señalar que dichos factores pueden ser funciones de los parámetros de la fdp o fmp. Estos factores forman parte del factor de normalización de la distribución de probabilidad y son innecesarios en muchas situaciones. Por ejemplo, en el muestreo de números pseudoaleatorios , la mayoría de los algoritmos de muestreo ignoran el factor de normalización. Además, en el análisis bayesiano de distribuciones a priori conjugadas , los factores de normalización generalmente se ignoran durante los cálculos y solo se considera el núcleo. Al final, se examina la forma del núcleo y, si coincide con una distribución conocida, se puede reincorporar el factor de normalización. De lo contrario, puede ser innecesario (por ejemplo, si solo se necesita muestrear la distribución).

Para muchas distribuciones, el núcleo se puede escribir en forma cerrada, pero no la constante de normalización.

Un ejemplo es la distribución normal . Su función de densidad de probabilidad es

pag(incógnita|μ,σ2)=12πσ2mi−(incógnita−μ)22σ2{\displaystyle p(x|\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

y el núcleo asociado es

pag(incógnita|μ,σ2)∝mi−(incógnita−μ)22σ2{\displaystyle p(x|\mu ,\sigma ^{2})\propto e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

Nótese que se ha omitido el factor que precede a la exponencial, aunque contiene el parámetro.σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}porque no es una función de la variable de dominio.incógnita{\displaystyle x}.

Análisis de patrones

El núcleo de un espacio de Hilbert con núcleo reproductor se utiliza en el conjunto de técnicas conocidas como métodos de núcleo para realizar tareas como clasificación estadística , análisis de regresión y análisis de clústeres sobre datos en un espacio implícito. Este uso es particularmente común en el aprendizaje automático .

estadística no paramétrica

En estadística no paramétrica , un núcleo es una función de ponderación utilizada en técnicas de estimación no paramétrica . Los núcleos se emplean en la estimación de densidad de núcleo para estimar las funciones de densidad de variables aleatorias , o en la regresión de núcleo para estimar la esperanza condicional de una variable aleatoria. También se utilizan en series temporales , en el uso del periodograma para estimar la densidad espectral, donde se conocen como funciones de ventana . Otro uso es la estimación de una intensidad variable en el tiempo para un proceso puntual, donde las funciones de ventana (núcleos) se convolucionan con datos de series temporales.

Generalmente, también es necesario especificar el ancho del núcleo al realizar una estimación no paramétrica.

Definición

Un núcleo es una función integrable K de valores reales no negativos . Para la mayoría de las aplicaciones, es deseable definir la función para que satisfaga dos requisitos adicionales:

∫−∞+∞K(tú)dtú=1;{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;}
K(−tú)=K(tú) para todos los valores de tú.{\displaystyle K(-u)=K(u){\mbox{ para todos los valores de }}u\,.}

El primer requisito garantiza que el método de estimación de densidad de kernel dé como resultado una función de densidad de probabilidad . El segundo requisito garantiza que la media de la distribución correspondiente sea igual a la de la muestra utilizada.

Si K es un núcleo, entonces también lo es la función K * definida por K *( u ) = λ K (λ u ), donde λ > 0. Esto se puede usar para seleccionar una escala apropiada para los datos.

Funciones de núcleo de uso común

Algunos de los núcleos que se muestran a continuación están en un sistema de coordenadas común.

Se utilizan comúnmente varios tipos de funciones de núcleo: uniforme, triangular, Epanechnikov, [ 2 ] cuártica (biweight), tricubo, [ 3 ] triweight, gaussiana, cuadrática [ 4 ] y coseno.

En la tabla siguiente, siK{\displaystyle K}se da con un soporte acotado , entoncesK(tú)=0{\displaystyle K(u)=0}para valores de u que se encuentran fuera del soporte.

Véase también

Notas

  1. ↑ La eficiencia se define como∫tú2K(tú)dtú∫K(tú)2dtú{\displaystyle {\sqrt {\int u^{2}K(u)\,du}}\int K(u)^{2}\,du}.

Referencias

  1. ↑ Schuster, Eugene (agosto de 1969). "Estimación de una función de densidad de probabilidad y sus derivadas" . The Annals of Mathematical Statistics . 40 (4): 1187-1195. doi : 10.1214/aoms/1177697495 .
  2. ↑ Nombrado en honor a Epanechnikov, VA (1969). "Estimación no paramétrica de una densidad de probabilidad multivariada". Theory Probab. Appl . 14 (1): 153– 158. doi : 10.1137/1114019 .
  3. ↑ Altman, NS (1992). "Una introducción a la regresión no paramétrica de kernel y vecino más cercano". The American Statistician . 46 (3): 175– 185. doi : 10.1080/00031305.1992.10475879 . hdl : 1813/31637 .
  4. ↑ Cleveland, WS ; Devlin, SJ (1988). "Regresión ponderada localmente: Un enfoque para el análisis de regresión mediante ajuste local". Journal of the American Statistical Association . 83 (403): 596– 610. doi : 10.1080/01621459.1988.10478639 .
  5. ↑ Silverman, BW (1986). Estimación de densidad para estadística y análisis de datos . Chapman and Hall, Londres. Bibcode : 1986desd.book.....S .
  • Li, Qi; Racine, Jeffrey S. (2007). Econometría no paramétrica: teoría y práctica . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12161-1.
  • Zucchini, Walter. "TÉCNICAS DE SUAVIZADO APLICADAS Parte 1: Estimación de la densidad del núcleo" (PDF) . Consultado el 6 de septiembre de 2018 .
  • Comaniciu, D; Meer, P (2002). "Mean shift: A robust approach toward feature space analysis". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 24 (5): 603– 619. CiteSeerX 10.1.1.76.8968 . doi : 10.1109/34.1000236 . 
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