Frecuencia epicíclica

En astrofísica , particularmente en el estudio de discos de acreción , la frecuencia epicíclica es la frecuencia a la que oscilará una parcela de fluido desplazada radialmente . Se la puede denominar " discriminante de Rayleigh ". Al considerar un disco astrofísico con rotación diferencial${\displaystyle \Omega }$, la frecuencia epicíclica${\displaystyle \kappa }$es dado por

${\displaystyle \kappa ^{2}\equiv {\frac {2\Omega }{R}}{\frac {d}{dR}}(R^{2}\Omega )}$, donde R es la coordenada radial. ^{[ 1 ]}

Esta cantidad se puede utilizar para examinar los "límites" de un disco de acreción: cuando${\displaystyle \kappa ^{2}}$Cuando se vuelve negativo, pequeñas perturbaciones en la órbita (supuestamente circular) de una parcela de fluido se volverán inestables, y el disco desarrollará un "borde" en ese punto. Por ejemplo, alrededor de un agujero negro de Schwarzschild , la órbita circular estable más interna (ISCO) ocurre a tres veces el horizonte de sucesos , en${\displaystyle 6GM/c^{2}}$.

Para un disco kepleriano,${\displaystyle \kappa =\Omega}$.

Un disco astrofísico puede modelarse como un fluido con masa despreciable en comparación con el objeto central (por ejemplo, una estrella) y con presión despreciable. Podemos suponer una simetría axial tal que${\displaystyle \Phi (r,z)=\Phi (r,-z)}$Partiendo de las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas  : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-\partial _{r}\Phi \\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}&=0\\{\ddot {z}}&=-\partial _{z}\Phi \end{alineado}}}$$

La segunda línea implica que el momento angular específico se conserva. Entonces podemos definir un potencial efectivo.${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}=\Phi -{\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}=\Phi +{\frac {h^{2}}{2r^{2}}}}$y entonces  : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}&=-\partial _{r}\Phi _{\text{eff}}\\{\ddot {z}}&=-\partial _{z}\Phi _{\text{eff}}\end{aligned}}}$$

Podemos aplicar una pequeña perturbación${\displaystyle \delta {\vec {r}}=\delta r{\vec {e}}_{r}+\delta z{\vec {e}}_{z}}$a la órbita circular  :$${\displaystyle {\vec {r}}=r_{0}{\vec {e}}_{r}+\delta {\vec {r}}}$$ Entonces,$${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}+\delta {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {\nabla }}\Phi _{\text{eff}}({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})\approx -{\vec {\nabla }}\Phi _{\text{eff}}({\vec {r}})-\partial _{r}^{2}\Phi _{\text{eff}}({\vec {r}})\delta r-\partial _{z}^{2}\Phi _{\text{eff}}({\vec {r}})\delta z}$$

Y así  : $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\ddot {r}}&=-\partial _{r}^{2}\Phi _{\text{eff}}\delta r=-\Omega _{r}^{2}\delta r\\\delta {\ddot {z}}&=-\partial _{r}^{2}\Phi _{\text{eff}}\delta z=-\Omega _{z}^{2}\delta z\end{aligned}}}$$ Luego observamos$${\displaystyle \kappa ^{2}=\Omega _{r}^{2}=\partial _{r}^{2}\Phi _{\text{eff}}=\partial _{r}^{2}\Phi +{\frac {3h^{2}}{r^{4}}}}$$ En una órbita circular${\displaystyle h_{c}^{2}=r^{3}\partial _{r}\Phi }$. De este modo  : $${\displaystyle \kappa ^{2}=\partial _{r}^{2}\Phi +{\frac {3}{r}}\partial _{r}\Phi }$$ La frecuencia de una órbita circular es${\displaystyle \Omega _{c}^{2}={\frac {1}{r}}\partial _{r}\Phi }$lo que finalmente produce  : $${\displaystyle \kappa ^{2}=4\Omega _{c}^{2}+2r\Omega _{c}{\frac {d\Omega _{c}}{dr}}}$$