Epiespiral

La epiespiral es una curva plana con ecuación polar.

${\displaystyle \ r=a\sec {n\theta }}$.

Hay n secciones si n es impar y 2 n si n es par.

Es la inversión polar o circular de la curva rosa .

En astronomía, la epiespiral está relacionada con las ecuaciones que explican las órbitas de los planetas .

Hay otra definición de la epiespiral que tiene que ver con las tangentes a los círculos: ^[1]

Comience con un círculo.

Gire un único punto en el círculo alrededor del círculo en un ángulo y al mismo tiempo en un ángulo en proporción constante a , digamos para alguna constante . ${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización c\theta}$${\estilo de visualización c}$

Las intersecciones de las líneas tangentes al círculo en estos nuevos puntos rotados a partir de ese único punto para cada uno trazarían una epiespiral. ${\estilo de visualización \theta}$

La ecuación polar se puede derivar a través de geometría simple de la siguiente manera:

Para determinar las coordenadas polares de la intersección de las líneas tangentes en cuestión para algunos y , tenga en cuenta que está a medio camino entre y por congruencia de triángulos, por lo que es . Además, si el radio del círculo que genera la curva es , entonces, dado que hay un triángulo rectángulo (es rectángulo ya que una tangente a un círculo se encuentra con el radio en un ángulo recto en el punto de tangencia) con hipotenusa y un ángulo al que el cateto adyacente del triángulo es , el radio en el punto de intersección de las tangentes relevantes es . Esto da la ecuación polar de la curva, para todos los puntos de ella. ${\displaystyle (\rho,\phi)}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización -1<c<1}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización c\theta}$${\displaystyle {\frac {(c+1)\theta }{2}}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle {\frac {(1-c)\theta }{2}}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle r\sec({\frac {(1-c)\theta }{2}})}$${\displaystyle \rho = r\sec({\frac {(1-c)\phi }{c+1}})}$${\displaystyle (\rho,\phi)}$

• Espiral logarítmica
• Rosa (matemáticas)

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pág. 192. ISBN. 0-486-60288-5.
• https://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/epi/epi.shtml