Ecuación del tiempo

Los babilonios conocían el movimiento diario irregular del Sol.

El Libro III del Almagesto de Ptolomeo (siglo II) se centra principalmente en la anomalía del Sol, y tabuló la ecuación del tiempo en sus Tablas prácticas . ^{[ 11 ]} Ptolomeo analiza la corrección necesaria para convertir el cruce meridiano del Sol en tiempo solar medio y toma en consideración el movimiento no uniforme del Sol a lo largo de la eclíptica y la corrección meridiana para la longitud eclíptica del Sol. Afirma que la corrección máxima es de 8 + 1/3 grados de tiempo o 5/9 de hora (Libro III, capítulo 9). [ ^{12 ] Sin} embargo , no consideró que el efecto fuera relevante para la mayoría de los cálculos , ya que era insignificante para los astros de movimiento lento y solo lo aplicó para el astro de movimiento más rápido, la Luna. 

Según la discusión de Ptolomeo en el Almagesto , los valores para la ecuación del tiempo (en árabe taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) eran estándar para las tablas ( zij ) en las obras de astronomía islámica medieval . ^{[ 13 ]}

Nevil Maskelyne describió el tiempo aparente y el tiempo medio en el Almanaque Náutico de 1767: «El tiempo aparente es el que se deduce directamente del Sol, ya sea por la observación de su paso por el meridiano o por la observación de su salida o puesta . Este tiempo es diferente del que muestran los relojes bien calibrados en tierra, que se denomina tiempo medio o tiempo equivalente». Continuó diciendo que, en el mar, el tiempo aparente obtenido mediante la observación del Sol debe corregirse con la ecuación del tiempo si el observador necesita el tiempo medio. ^{[ 1 ]}

Originalmente, se consideraba que la hora correcta era la que marcaba un reloj de sol. Cuando se introdujeron los buenos relojes mecánicos, estos solo coincidían con los relojes de sol en torno a cuatro fechas al año, por lo que se utilizó la ecuación del tiempo para "corregir" sus lecturas y obtener la hora del reloj de sol. Algunos relojes, llamados relojes de ecuación , incluían un mecanismo interno para realizar esta "corrección". Posteriormente, a medida que los relojes se convirtieron en los instrumentos de medición del tiempo más utilizados, la hora del reloj sin corregir, es decir, la "hora media", se convirtió en el estándar aceptado. Las lecturas de los relojes de sol, cuando se usaban, se corregían entonces, y a menudo todavía se corrigen, con la ecuación del tiempo, aplicada en sentido inverso al anterior, para obtener la hora del reloj. Por consiguiente, muchos relojes de sol tienen tablas o gráficos de la ecuación del tiempo grabados para que el usuario pueda realizar esta corrección. ^{[ 8 ] : 123}

Históricamente, la ecuación del tiempo se utilizaba para ajustar los relojes . Entre la invención de los relojes de precisión en 1656 y la aparición de los servicios comerciales de distribución horaria alrededor de 1900, existían varios métodos terrestres comunes para ajustar los relojes. Un reloj de sol se leía y corregía con la tabla o gráfica de la ecuación del tiempo.

Si se disponía de un instrumento de tránsito o la precisión era importante, se registraba el tránsito del sol por el meridiano (el momento en que el sol parece estar directamente al sur o al norte del observador, conocido como su culminación ); luego se ajustaba el reloj al mediodía y se desfasaba según el número de minutos que indicaba la ecuación del tiempo para esa fecha. Un tercer método no utilizaba la ecuación del tiempo; en su lugar, utilizaba observaciones estelares para obtener el tiempo sideral , aprovechando la relación entre el tiempo sideral y el tiempo solar medio . ^{[ 14 ] : 57–58} Los métodos más precisos también fueron precursores de la determinación de la longitud del observador en relación con un meridiano de referencia , como en la geodesia terrestre y la navegación celeste marítima.

Las primeras tablas que proporcionaban la ecuación del tiempo de forma esencialmente correcta fueron publicadas en 1665 por Christiaan Huygens . ^{[ 15 ]} Huygens, siguiendo la tradición de Ptolomeo y de los astrónomos medievales en general, estableció sus valores para la ecuación del tiempo de manera que todos los valores fueran positivos a lo largo del año. ^{[ 15 ]} Esto significaba que cualquier reloj ajustado a la hora media mediante las tablas de Huygens siempre estaba unos 15  minutos atrasado con respecto a la hora media actual.

Otro conjunto de tablas fue publicado en 1672-73 por John Flamsteed , quien más tarde se convirtió en el primer Astrónomo Real del nuevo Real Observatorio de Greenwich . Estas parecen haber sido las primeras tablas esencialmente correctas que dieron el significado actual de Tiempo Medio (anteriormente, como se mencionó anteriormente, el signo de la ecuación siempre era positivo y se establecía en cero cuando la hora aparente del amanecer era la más temprana en relación con la hora del amanecer en el reloj). Flamsteed adoptó la convención de tabular y nombrar la corrección en el sentido de que debía aplicarse al tiempo aparente para dar el tiempo medio. ^{[ 16 ]}

La ecuación del tiempo, basada correctamente en los dos componentes principales de la irregularidad del movimiento aparente del Sol, no fue adoptada de forma generalizada hasta después de las tablas de Flamsteed de 1672-73, publicadas con la edición póstuma de las obras de Jeremiah Horrocks . ^{[ 17 ] : 49}

Robert Hooke (1635–1703), quien analizó matemáticamente la junta universal , fue el primero en notar que la geometría y la descripción matemática de la ecuación del tiempo (no secular) y la junta universal eran idénticas, y propuso el uso de una junta universal en la construcción de un "reloj de sol mecánico". ^{[ 18 ] : 219}

Las correcciones en las tablas de Flamsteed de 1672-1673 y 1680 dieron como resultado un tiempo medio calculado esencialmente correcto y sin necesidad de ajustes adicionales. Pero los valores numéricos en las tablas de la ecuación del tiempo han cambiado un poco desde entonces, debido a tres factores:

• Mejoras generales en la precisión que se derivaron de perfeccionamientos en las técnicas de medición astronómica,
• Cambios intrínsecos lentos en la ecuación del tiempo, que ocurren como resultado de pequeños cambios a largo plazo en la oblicuidad y excentricidad de la Tierra (que afectan, por ejemplo, la distancia y las fechas del perihelio ), y
• La inclusión de pequeñas fuentes de variación adicional en el movimiento aparente del Sol, desconocidas en el siglo XVII pero descubiertas a partir del siglo XVIII, incluyendo los efectos de la Luna (véase baricentro ), Venus y Júpiter. ^{[ 19 ]}

Desde 1767 hasta 1833, el British Nautical Almanac and Astronomical Ephemeris tabuló la ecuación del tiempo con la instrucción de «sumar o restar (según se indique) el número de minutos y segundos indicados al tiempo aparente para obtener el tiempo medio». Los tiempos en el Almanaque se expresaban en tiempo solar aparente, ya que el tiempo a bordo se determinaba generalmente mediante la observación del Sol. Esta operación se realizaba en el caso excepcional de que se necesitara el tiempo solar medio de una observación. En las ediciones posteriores a 1834, todos los tiempos se expresaron en tiempo solar medio, dado que para entonces el tiempo a bordo se determinaba cada vez con mayor frecuencia mediante cronómetros marinos . Por consiguiente, las instrucciones consistían en sumar o restar (según se indique) el número de minutos indicados al tiempo medio para obtener el tiempo aparente. Así, la suma correspondía a una ecuación positiva y la resta a una negativa.

Dado que el movimiento aparente del Sol es de una revolución por día, es decir, 360° cada 24  horas, y el Sol aparece como un disco de aproximadamente 0,5° en el cielo, los relojes de sol simples pueden leerse con una precisión máxima de aproximadamente un minuto. Como la ecuación del tiempo tiene un rango de unos 33  minutos, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la del reloj no puede ignorarse. Además de la ecuación del tiempo, también hay que aplicar correcciones debido a la distancia al meridiano de la zona horaria local y al horario de verano , si corresponde.

El pequeño aumento del día solar medio debido a la ralentización de la rotación de la Tierra, de unos 2 ms por día por siglo, que actualmente se acumula hasta aproximadamente 1  segundo cada año, no se tiene en cuenta en las definiciones tradicionales de la ecuación del tiempo, ya que es imperceptible al nivel de precisión de los relojes de sol.

La Tierra gira alrededor del Sol. Visto desde la Tierra, el Sol parece girar una vez alrededor de la Tierra a través de las estrellas de fondo en un año. Si la Tierra orbitara alrededor del Sol a velocidad constante, en una órbita circular en un plano perpendicular al eje terrestre, entonces el Sol culminaría cada día exactamente a la misma hora, y sería un cronometrador perfecto (excepto por el efecto muy pequeño de la desaceleración de la rotación de la Tierra). Pero la órbita de la Tierra es una elipse no centrada en el Sol, y su velocidad varía entre 30,287 y 29,291  km/s, según las leyes de Kepler del movimiento planetario , y su velocidad angular también varía, por lo que el Sol parece moverse más rápido (en relación con las estrellas de fondo) en el perihelio (actualmente alrededor del 3  de enero) y más lento en el afelio medio año después. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

En estos puntos extremos, este efecto modifica el día solar aparente en 7,9  s/día con respecto a su media. En consecuencia, las pequeñas diferencias diarias de velocidad en otros días se acumulan hasta estos puntos, reflejando cómo el planeta acelera y desacelera en comparación con la media.

Como resultado, la excentricidad de la órbita terrestre contribuye con una variación periódica que es (en la primera aproximación) una onda sinusoidal con:

• amplitud: 7,66  minutos
• período : un año
• Puntos cero: perihelio (a principios de enero) y afelio (a principios de julio).
• Valores extremos: principios de abril (negativo) y principios de octubre (positivo).

Este componente de la EoT está representado por el factor a mencionado anteriormente :

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))}$

Incluso si la órbita de la Tierra fuera circular, el movimiento percibido del Sol a lo largo de nuestro ecuador celeste seguiría sin ser uniforme. ^{[ 5 ]} Esto es consecuencia de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita , o equivalentemente, la inclinación de la eclíptica (la trayectoria que el Sol parece seguir en la esfera celeste ) con respecto al ecuador celeste . La proyección de este movimiento sobre nuestro ecuador celeste , a lo largo del cual se mide el "tiempo del reloj", es máxima en los solsticios , cuando el movimiento anual del Sol es paralelo al ecuador (lo que provoca una amplificación de la velocidad percibida) y produce principalmente un cambio en la ascensión recta . Es mínima en los equinoccios , cuando el movimiento aparente del Sol tiene una pendiente mayor y produce un mayor cambio en la declinación , dejando menos para el componente en ascensión recta , que es el único componente que afecta la duración del día solar. Un ejemplo práctico de la oblicuidad es que el desplazamiento diario de la sombra proyectada por el Sol en un reloj de sol, incluso en el ecuador, es menor cerca de los solsticios y mayor cerca de los equinoccios. Si este efecto actuara por sí solo, los días durarían hasta 24  horas y 20,3  segundos (medidos de mediodía solar a mediodía solar) cerca de los solsticios, y hasta 20,3  segundos menos de 24  horas cerca de los equinoccios. ^{[ 20 ] [ 23 ] [ 22 ]}

En la figura de la derecha, podemos observar la variación mensual de la pendiente aparente del plano de la eclíptica al mediodía solar, vista desde la Tierra. Esta variación se debe a la precesión aparente de la Tierra en rotación a lo largo del año, vista desde el Sol al mediodía solar.

En términos de la ecuación del tiempo, la inclinación de la eclíptica resulta en la contribución de una variación sinusoidal con:

• amplitud: 9,87 minutos
• período: 1/2 año
• Puntos cero: equinoccios y solsticios
• Valores extremos: principios de febrero y agosto (negativos) y principios de mayo y noviembre (positivos).

Este componente de la EoT está representado por el factor "b" mencionado anteriormente:

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

La definición precisa de la ecuación del tiempo es: ^{[ 28 ] : 1529}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA} }$

Las cantidades que aparecen en esta ecuación son:

• EOT, la diferencia horaria entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio ;
• GHA, el ángulo horario de Greenwich del sol aparente (real);
• GMHA = Tiempo Universal − Desplazamiento, el ángulo horario medio de Greenwich del sol medio (ficticio).

Aquí, el tiempo y el ángulo son cantidades relacionadas por factores como: 2π radianes  = 360° = 1  día = 24  horas. La diferencia, EOT, es medible ya que GHA es un ángulo que se puede medir y el Tiempo Universal , UT, es una escala para la medición del tiempo. El desfase de π = 180° = 12  horas con respecto a UT es necesario porque UT es cero a la medianoche media, mientras que GMHA  = 0 al mediodía medio. El Tiempo Universal es discontinuo a la medianoche media, por lo que se requiere otra cantidad, el número de día N , un número entero, para formar la cantidad continua de tiempo t : t = N + UT / 24 h días . Tanto GHA como GMHA, como todos los ángulos físicos, tienen una discontinuidad matemática, pero no física, en su respectivo mediodía (aparente y medio) . A pesar de las discontinuidades matemáticas de sus componentes, EOT se define como una función continua sumando (o restando) 24  horas en el pequeño intervalo de tiempo entre las discontinuidades en GHA y GMHA.

Según las definiciones de los ángulos en la esfera celeste GHA = GAST − α (ver ángulo horario ) , donde:

• GAST es el tiempo sideral aparente de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el meridiano en el plano del ecuador). Esta es una función conocida de UT. ^{[ 29 ]}
• α es la ascensión recta del Sol aparente (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el Sol real en el plano del ecuador).

Al sustituir en la ecuación del tiempo, es

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

Al igual que la fórmula para GHA anterior, se puede escribir GMHA = GAST − α _M , donde el último término es la ascensión recta del Sol medio. La ecuación se suele escribir en estos términos como ^{[ 4 ] : 275 [ 30 ] : 45}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\alpha _ {M}-\alpha }$

donde α _M = GAST − UT + offset . En esta formulación, una medición o cálculo de EOT en un valor de tiempo determinado depende de una medición o cálculo de α en ese momento. Tanto α como α _M varían de 0 a 24 horas durante el transcurso de un año. El primero tiene una discontinuidad en un tiempo que depende del valor de UT, mientras que el segundo la tiene en un tiempo ligeramente posterior. Como consecuencia, cuando se calcula de esta manera, EOT tiene dos discontinuidades artificiales. Ambas pueden eliminarse restando 24 horas al valor de EOT en el pequeño intervalo de tiempo después de la discontinuidad en α y antes de la de α _M . El EOT resultante es una función continua del tiempo.

Otra definición, denotada con E para distinguirla de EOT, es

${\displaystyle E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

Aquí, GMST = GAST − eqeq , es el tiempo sideral medio de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal medio y el Sol medio en el plano del ecuador). Por lo tanto, GMST es una aproximación a GAST (y E es una aproximación a EOT); eqeq se denomina ecuación de los equinoccios y se debe a la oscilación, o nutación, del eje de rotación de la Tierra alrededor de su movimiento de precesión. Dado que la amplitud del movimiento nutacional es de solo unos 1,2  s (18″ de longitud), la diferencia entre EOT y E puede ignorarse a menos que se busque una precisión de subsegundos.

Una tercera definición, denotada Δ t para distinguirla de EOT y E , y ahora llamada Ecuación del Tiempo de Efemérides ^{[ 28 ] : 1532} (antes de la distinción que ahora se hace entre EOT, E y Δ t, esta última se conocía como la ecuación del tiempo) es

${\displaystyle \Delta t=\Lambda -\alpha }$

Aquí Λ es la longitud eclíptica del Sol medio (el ángulo desde el equinoccio vernal medio hasta el Sol medio en el plano de la eclíptica ).

La diferencia Λ − (GMST − UT + offset) es de 1,3  s desde 1960 hasta 2040. Por lo tanto, en este rango restringido de años, Δ t es una aproximación a EOT cuyo error está en el rango de 0,1 a 2,5  s dependiendo de la corrección de longitud en la ecuación de los equinoccios; para muchos propósitos, por ejemplo, corregir un reloj de sol, esta precisión es más que suficiente.

La ascensión recta, y por lo tanto la ecuación del tiempo, se puede calcular a partir de la teoría de Newton sobre el movimiento celeste de dos cuerpos, en la que los cuerpos (Tierra y Sol) describen órbitas elípticas alrededor de su centro de masa común. Utilizando esta teoría, la ecuación del tiempo se convierte en:

${\displaystyle \Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha }$

donde los nuevos ángulos que aparecen son:

• M = ⁠ 2π( t − t _p ) / t _Y ⁠ , es la anomalía media , el ángulo desde el periapsis de la órbita elíptica hasta el Sol medio; su rango es de 0 a 2 π a medida que t aumenta de t _p a t _p + t _Y ;
• t _Y =365,259 6358  días es la duración de un año anómalo : el intervalo de tiempo entre dos pasos sucesivos del periapsis;
• λ _p = Λ − M , es la longitud eclíptica del periapsis;
• t es el tiempo dinámico , la variable independiente en la teoría. Aquí se toma como idéntico al tiempo continuo basado en UT (ver más arriba), pero en cálculos más precisos (de E o EOT) se debe tener en cuenta la pequeña diferencia entre ellos ^{[ 28 ] : 1530 [ 29 ]} así como la distinción entre UT1 y UTC.
• t _p es el valor de t en el periapsis.

Para completar el cálculo se requieren tres ángulos adicionales:

• E , la anomalía excéntrica del Sol(nótese que esto es diferente de M );
• ν , la verdadera anomalía del Sol;
• λ = ν + λ _p , la longitud verdadera del Sol en la eclíptica.

Todos estos ángulos se muestran en la figura de la derecha, que representa la esfera celeste y la órbita elíptica del Sol vista desde la Tierra (igual que la órbita de la Tierra vista desde el Sol). En esta figura, ε es la oblicuidad , mientras que e = √ 1 − ( b / a ) ² es la excentricidad de la elipse.

Ahora, dado un valor de 0 ≤ M ≤ 2π , se puede calcular α ( M ) mediante el siguiente procedimiento bien conocido: ^{[ 27 ] : 89}

Primero, dado M , calcule E a partir de la ecuación de Kepler : ^{[ 31 ] : 159}

${\displaystyle M=E-e\sin {E}}$

Aunque esta ecuación no se puede resolver exactamente en forma cerrada, los valores de E ( M ) se pueden obtener a partir de series infinitas (de potencias o trigonométricas), métodos gráficos o numéricos. Alternativamente, tenga en cuenta que para e = 0 , E = M , y por iteración: ^{[ 32 ] : 2}

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}}$

Esta aproximación se puede mejorar, para valores pequeños de e , iterando de nuevo:

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}}$,

y la iteración continua produce términos de orden sucesivamente más alto en la expansión en serie de potencias de e . Para valores pequeños de e (mucho menores que 1), dos o tres términos de la serie dan una buena aproximación para E ; cuanto menor sea e , mejor será la aproximación.

A continuación, conociendo E , calcule la anomalía verdadera ν a partir de una relación de órbita elíptica ^{[ 31 ] : 165}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)}$

La rama correcta de la función multivaluada arctan x que se debe usar es aquella que hace que ν sea una función continua de E ( M ) comenzando desde ν _{E =0} = 0 . Por lo tanto, para 0 ≤ E < π use arctan x = arctan x , y para π < E ≤ 2π use arctan x = arctan x + π . En el valor específico E = π para el cual el argumento de tan es infinito, use ν = E . Aquí arctan x es la rama principal, | arctan x | < ⁠ π / 2 ⁠ ; la función que devuelven las calculadoras y las aplicaciones informáticas. Alternativamente, esta función se puede expresar en términos de su serie de Taylor en e , cuyos tres primeros términos son:

${\displaystyle \nu \approx E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}}$.

Para valores pequeños de e, esta aproximación (o incluso solo los dos primeros términos) es buena. Combinando la aproximación para E ( M ) con esta para ν ( E ) se obtiene:

${\displaystyle \nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

La relación ν ( M ) se llama ecuación del centro ; la expresión escrita aquí es una aproximación de segundo orden en e . Para el pequeño valor de e que caracteriza la órbita de la Tierra, esto da una muy buena aproximación para ν ( M ) .

A continuación, conociendo ν , calcule λ a partir de su definición:

${\displaystyle \lambda =\nu +\lambda _{p}}$

El valor de λ varía de forma no lineal con M porque la órbita es elíptica y no circular. A partir de la aproximación para ν :

${\displaystyle \lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

Finalmente, conociendo λ, calcule α a partir de una relación para el triángulo rectángulo en la esfera celeste que se muestra arriba ^{[ 33 ] : 22}

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$

Nótese que el cuadrante de α es el mismo que el de λ , por lo tanto, reduzca λ al rango de 0 a 2π y escriba

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)}$,

donde k es 0 si λ está en el cuadrante 1, es 1 si λ está en los cuadrantes 2 o 3 y es 2 si λ está en el cuadrante 4. Para los valores en los que tan es infinito, α = λ .

Aunque se pueden obtener valores aproximados para α a partir de series de Taylor truncadas como las de ν , ^{[ 34 ] : 32} es más eficaz utilizar la ecuación ^{[ 35 ] : 374}

${\displaystyle \alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)}$

donde y = tan ² ( ⁠ ε / 2 ⁠ ) . Nótese que para ε = y = 0 , α = λ y iterando dos veces:

${\displaystyle \alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }}$.

La ecuación del tiempo se obtiene sustituyendo el resultado del cálculo de la ascensión recta en una fórmula de ecuación del tiempo. Aquí se utiliza Δ t ( M ) = M + λ _p − α [ λ ( M )] ; en parte porque no se incluyen pequeñas correcciones (del orden de 1 segundo), que justificarían el uso de E , y en parte porque el objetivo es obtener una expresión analítica simple. El uso de aproximaciones de dos términos para λ ( M ) y α ( λ ) permite escribir Δ t como una expresión explícita de dos términos, que se designa Δ t _ey porque es una aproximación de primer orden en e y en y .

1)${\displaystyle \Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)}$minutos

Esta ecuación fue derivada por primera vez por Milne, ^{[ 35 ] : 375} quien la escribió en términos de λ = M + λ _p . Los valores numéricos escritos aquí resultan del uso de los valores del parámetro orbital, e =0,016 709 , ε =23,4393 ° =0,409 093  radianes y λ _p =282,9381 ° =4,938 201  radianes que corresponden a la época 1  de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1 . Al evaluar la expresión numérica para Δ t _ey como se indica arriba, una calculadora debe estar en modo radianes para obtener valores correctos porque el valor de 2 λ _p − 2π en el argumento del segundo término está escrito allí en radianes. También se pueden escribir aproximaciones de orden superior, ^{[ 36 ] : Ecs. (45) y (46)} pero necesariamente tienen más términos. Por ejemplo, la aproximación de segundo orden tanto en e como en y consta de cinco términos ^{[ 28 ] : 1535}

2)${\displaystyle \Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)}$

_{Esta aproximación tiene el potencial de una} alta precisión, sin embargo, para lograrla en un amplio rango de años, los parámetros e , ε y λp deben poder variar con el tiempo. ^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] : 1531,1535} Esto crea complicaciones de cálculo adicionales. Se han propuesto otras aproximaciones, por ejemplo, Δt e ^{[ 27 ] : 86 [ 37 ]} _{que utiliza la ecuación de} primer orden del centro pero ninguna otra aproximación para determinar α , y Δt e ₂ ^{[ ₃₈ ] que utiliza la ecuación de} segundo orden del centro.

La variable de tiempo, M , puede escribirse en términos de n , el número de días transcurridos desde el perihelio, o de D , el número de días transcurridos desde una fecha y hora específicas (época):

3)${\displaystyle M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n}$días${\displaystyle =M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D}$días${\displaystyle =6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

4) ${\displaystyle M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

Aquí M _D es el valor de M en la fecha y hora elegidas. Para los valores dados aquí, en radianes, M _D es el medido para el Sol real en la época, 1  de enero de 2000 a las 12  del mediodía UT1, y D es el número de días transcurridos desde esa época. En el periapsis M = 2π , por lo que al resolver se obtiene D = D _p =2.508 109 . Esto sitúa el periapsis el 4  de enero de 2000 a las 00:11:41 mientras que el periapsis real es, según los resultados del Multiyear Interactive Computer Almanac ^{[ 39 ]} (abreviado como MICA), el 3  de enero de 2000 a las 05:17:30. Esta gran discrepancia se produce porque la diferencia entre el radio orbital en las dos ubicaciones es solo 1 parte en un millón; en otras palabras, el radio es una función muy débil del tiempo cerca del periapsis. En la práctica, esto significa que no se puede obtener un resultado muy preciso para la ecuación del tiempo usando n y añadiendo la fecha real del periapsis para un año dado. Sin embargo, se puede lograr una alta precisión usando la formulación en términos de D .

Cuando D > D _p , M es mayor que 2 π y se debe restar un múltiplo de 2 π (que depende del año) para que esté en el rango de 0 a 2 π . De igual manera, para los años anteriores a 2000 se deben sumar múltiplos de 2 π . Por ejemplo, para el año 2010, D varía de3653 el 1  de enero al mediodía hasta4017 el 31  de diciembre al mediodía; los valores M correspondientes son69.078 9468 y75,340 4748 y se reducen al rango de 0 a 2 π restando 10 y 11 veces 2 π respectivamente.

Siempre se puede escribir:

5) D = n _Y + d

dónde:

• n _Y = número de días desde la época hasta el mediodía del 1 de enero del año deseado
• 0 ≤ d ≤ 364 (365 si el cálculo es para un año bisiesto).

La ecuación resultante para los años posteriores al 2000, escrita como una suma de dos términos, dados 1), 4) y 5), es:

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))}$

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

6)${\displaystyle \Delta t_{ey}=a+b}$[minutos]

En formato de texto plano:

7) EoT = -7,659sin(6,24004077 + 0,01720197(365*(y-2000) + d)) + 9,863sin( 2 (6,24004077 + 0,01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3,5932 ) [minutos]

El término "a" representa la contribución de la excentricidad, el término "b" representa la contribución de la oblicuidad.

El resultado de los cálculos se suele presentar como un conjunto de valores tabulares o como un gráfico de la ecuación del tiempo en función de d _. En la figura se muestra una comparación de los gráficos de Δt , Δtey y los resultados de MICA para el año 2000. El gráfico de Δtey se aproxima a los resultados de MICA; el error absoluto, Err = | Δtey − MICA2000 | , es inferior a 1 minuto durante todo _el  año; su valor máximo es de 43,2 segundos  y se produce el día  276 (3 de octubre  ). El gráfico de Δt es prácticamente idéntico a _los resultados de MICA; el mayor error absoluto entre ambos es de 2,46 s  el día  324 (20  de noviembre).

La diferencia entre los resultados de MICA y Δt se verificó cada 5  años en el rango de 1960 a 2040. En todos los casos, el error absoluto máximo fue inferior a 3  s; la mayor diferencia, 2,91  s, se produjo el 22  de mayo de 1965 (día  141). Sin embargo, para lograr este nivel de precisión en este rango de años es necesario tener en cuenta el cambio secular en los parámetros orbitales con el tiempo. Las ecuaciones que describen esta variación son: ^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] : 1531,1535}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}}$

Según estas relaciones, en 100  años ( D  = 36 525 ), λ _p aumenta en aproximadamente un 0,5% (1,7°), e disminuye en aproximadamente un 0,25% y ε disminuye en aproximadamente un 0,05%.

En consecuencia, la cantidad de cálculos necesarios para cualquiera de las aproximaciones de orden superior de la ecuación del tiempo requiere el uso de una computadora para completarlas, si se desea alcanzar su precisión inherente en un amplio rango de tiempo. En este caso, no es más difícil evaluar Δt usando una computadora que cualquiera de sus aproximaciones.

En todo esto cabe señalar que Δ t _ey, tal como se escribió anteriormente, es fácil de calcular, incluso con una calculadora, es suficientemente preciso (mejor que 1  minuto en el rango de 80 años) para corregir relojes de sol, y tiene la explicación física adecuada como suma de dos términos, uno debido a la oblicuidad y el otro a la excentricidad, que se utilizó previamente en el artículo. Esto no es cierto ni para Δ t considerado como una función de M ni para ninguna de sus aproximaciones de orden superior.

Otro procedimiento para calcular la ecuación del tiempo se puede realizar de la siguiente manera. ^{[ 37 ]} Los ángulos están en grados; se aplica el orden de operaciones convencional .

n = ⁠ 360° / 365,24 días, ⁠ 

donde n es la velocidad angular orbital media de la Tierra en grados por día, también conocida como "el movimiento diario medio" .

${\displaystyle A=\left(D+9\right)n}$

donde D es la fecha, contada en días a partir del 1 de  enero (es decir, la parte de los días de la fecha ordinal del año). 9 es el número aproximado de días desde el solsticio de diciembre hasta el 31  de diciembre. A es el ángulo que la Tierra se movería en su órbita a su velocidad media desde el solsticio de diciembre hasta la fecha D.

${\displaystyle B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$

B es el ángulo que la Tierra se mueve desde el solsticio hasta la fecha D , incluyendo una corrección de primer orden para la excentricidad orbital de la Tierra, 0,0167  . El número  3 es el número aproximado de días desde el 31  de diciembre hasta la fecha actual del perihelio de la Tierra . Esta expresión para B se puede simplificar combinando constantes para:

${\displaystyle B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$.

${\displaystyle C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}}$

Aquí, C es la diferencia entre el ángulo movido a velocidad media y el ángulo a velocidad corregida proyectado sobre el plano ecuatorial, y dividido por 180° para obtener la diferencia en " medias vueltas ". El valor 23,44° es la inclinación del eje terrestre ("oblicuidad") . La resta da el signo convencional a la ecuación del tiempo. Para cualquier valor dado de x , arctan x (a veces escrito como tan ⁻¹ x ) tiene múltiples valores, que difieren entre sí en números enteros de medias vueltas. El valor generado por una calculadora o computadora puede no ser el apropiado para este cálculo. Esto puede causar que C sea incorrecto por un número entero de medias vueltas. Las medias vueltas sobrantes se eliminan en el siguiente paso del cálculo para obtener la ecuación del tiempo:

${\displaystyle \mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)}$ minutos

La expresión nint( C ) significa el entero más cercano a C. En una computadora, se puede programar, por ejemplo, como INT(C + 0.5) . Su valor es 0, 1 o 2 en diferentes épocas del año. Al restarlo, se obtiene una pequeña fracción positiva o negativa de medias vueltas, que se multiplica por 720, el número de minutos (12  horas) que tarda la Tierra en girar media vuelta con respecto al Sol, para obtener la ecuación del tiempo.

En comparación con los valores publicados, ^{[ 8 ]} este cálculo tiene un error cuadrático medio de solo 3,7  s. El mayor error es de 6,0  s. Esto es mucho más preciso que la aproximación descrita anteriormente, pero no tan preciso como el cálculo elaborado.