sistema de álgebra computacional

Un sistema de álgebra computacional ( CAS ) o sistema de álgebra simbólica ( SAS ) es cualquier software matemático con la capacidad de manipular expresiones matemáticas de manera similar a los cálculos manuales tradicionales de matemáticos y científicos . El desarrollo de los sistemas de álgebra computacional en la segunda mitad del siglo XX forma parte de la disciplina del " álgebra computacional " o "computación simbólica", que ha impulsado el trabajo en algoritmos sobre objetos matemáticos como los polinomios .

Los sistemas de álgebra computacional se pueden dividir en dos clases: especializados y de propósito general. Los especializados se dedican a una parte específica de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de grupos o la enseñanza de las matemáticas elementales .

Los sistemas de álgebra computacional de propósito general buscan ser útiles para usuarios que trabajan en cualquier campo científico que requiera la manipulación de expresiones matemáticas. Para ser útil, un sistema de álgebra computacional de propósito general debe incluir diversas características, tales como:

• una interfaz de usuario que permite al usuario introducir y visualizar fórmulas matemáticas, normalmente mediante teclado, selecciones de menú, ratón o lápiz óptico.
• un lenguaje de programación y un intérprete (el resultado de un cálculo suele tener una forma y un tamaño impredecibles; por lo tanto, con frecuencia se necesita la intervención del usuario),
• un simplificador , que es un sistema de reescritura para simplificar fórmulas matemáticas,
• un administrador de memoria , que incluye un recolector de basura , necesario debido al enorme tamaño de los datos intermedios que pueden aparecer durante un cálculo,
• una implementación aritmética de precisión arbitraria , necesaria debido al enorme tamaño de los enteros que pueden aparecer,
• una amplia biblioteca de algoritmos matemáticos y funciones especiales .

La biblioteca no solo debe satisfacer las necesidades de los usuarios, sino también las del simplificador. Por ejemplo, el cálculo del máximo común divisor de polinomios se utiliza sistemáticamente para la simplificación de expresiones que involucran fracciones.

Esta gran cantidad de capacidades informáticas requeridas explica el reducido número de sistemas de álgebra computacional de propósito general. Entre los sistemas más importantes se incluyen Axiom , GAP , Maxima , Magma , Maple , Mathematica , SageMath y SymPy .

En la década de 1950, si bien las computadoras se utilizaban principalmente para cálculos numéricos, existían algunos proyectos de investigación sobre su uso para la manipulación simbólica. Los sistemas de álgebra computacional comenzaron a aparecer en la década de 1960 y evolucionaron a partir de dos fuentes bastante diferentes: las necesidades de los físicos teóricos y la investigación en inteligencia artificial . ^{[ 1 ]}

Un ejemplo destacado del primer desarrollo fue el trabajo pionero realizado por el posterior premio Nobel de Física Martinus Veltman , quien diseñó un programa para matemáticas simbólicas, especialmente para física de altas energías, llamado Schoonschip (que en neerlandés significa "barco limpio") en 1963. Otros sistemas iniciales incluyen FORMAC . ^{[ 2 ]}

Utilizando Lisp como base de programación, Carl Engelman creó MATHLAB en 1964 en MITRE dentro de un entorno de investigación de inteligencia artificial. ^{[ 3 ]} Posteriormente, MATHLAB se puso a disposición de los usuarios en sistemas PDP-6 y PDP-10 que ejecutaban TOPS-10 o TENEX en universidades. Hoy en día, todavía se puede usar en emulaciones SIMH del PDP-10. MATHLAB (" laboratorio matemático ") no debe confundirse con MATLAB (" laboratorio de matrices "), que es un sistema para computación numérica construido 15 años después en la Universidad de Nuevo México . ^{[ 4 ]}

En 1987, Hewlett-Packard presentó la primera calculadora de mano CAS con la serie HP-28 . ^{[ 5 ]} Otras calculadoras de mano tempranas con capacidades de álgebra simbólica incluyeron la serie TI-89 de Texas Instruments y la calculadora TI-92 , y la Casio CFX-9970G . ^{[ 6 ]}

Los primeros sistemas populares de álgebra computacional fueron muMATH , Reduce , Derive (basado en muMATH) y Macsyma ; una versión copyleft de Macsyma se llama Maxima . Reduce se convirtió en software libre en 2008. ^{[ 7 ]} Los sistemas comerciales incluyen Mathematica ^{[ 8 ]} y Maple , que son comúnmente utilizados por matemáticos investigadores, científicos e ingenieros. Las alternativas disponibles gratuitamente incluyen SageMath (que puede funcionar como interfaz para varios otros CAS libres y no libres). Otros sistemas importantes incluyen Axiom , GAP , Maxima y Magma .

El movimiento hacia las aplicaciones basadas en la web a principios de la década de 2000 vio el lanzamiento de WolframAlpha , un motor de búsqueda en línea y CAS que incluye las capacidades de Mathematica . ^{[ 9 ]}

Más recientemente, se han implementado sistemas de álgebra computacional utilizando redes neuronales artificiales . ^{[ 10 ]}

Las manipulaciones simbólicas que suelen admitirse incluyen:

• simplificación a una expresión más pequeña o a alguna forma estándar , incluyendo la simplificación automática con supuestos y la simplificación con restricciones.
• Sustitución de símbolos o valores numéricos en determinadas expresiones.
• Cambio de forma de expresiones: expansión de productos y potencias, factorización parcial y total , reescritura como fracciones parciales , satisfacción de restricciones , reescritura de funciones trigonométricas como exponenciales, transformación de expresiones lógicas, etc.
• diferenciación parcial y total
• algunas integraciones indefinidas y definidas (véase integración simbólica ), incluidas las integrales multidimensionales
• optimización global simbólica con y sin restricciones
• Solución de ecuaciones lineales y algunas no lineales en diversos dominios.
• solución de algunas ecuaciones diferenciales y en diferencias
• tomar algunos límites
• transformadas integrales
• operaciones en serie como expansión, suma y productos
• Operaciones con matrices, incluyendo productos , inversas , etc.
• cálculo estadístico
• Demostración y verificación de teoremas , muy útil en el área de las matemáticas experimentales.
• generación de código optimizada

En lo anterior, la palabra "algunos" indica que la operación no siempre se puede realizar.

Muchos también incluyen:

• un lenguaje de programación que permite a los usuarios implementar sus propios algoritmos.
• operaciones numéricas de precisión arbitraria
• Funcionalidad de aritmética entera exacta y teoría de números
• Edición de expresiones matemáticas en forma bidimensional
• trazar gráficos y diagramas paramétricos de funciones en dos y tres dimensiones, y animarlos.
• dibujar gráficos y diagramas
• API para vincularlo con un programa externo como una base de datos, o para usarlo en un lenguaje de programación para utilizar el sistema de álgebra computacional.
• manipulación de cadenas como coincidencia y búsqueda
• complementos para su uso en matemáticas aplicadas como física, bioinformática , química computacional y paquetes para computación física ^{[ 11 ]}
• solucionadores para ecuaciones diferenciales ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• Formato de impresión legible para que se ajuste a las convenciones de notación matemática estándar.

Algunos ejemplos son:

• producción y edición gráfica , como imágenes generadas por computadora y procesamiento de señales como procesamiento de imágenes
• síntesis de sonido

Algunos sistemas de álgebra computacional se centran en disciplinas especializadas; estos suelen desarrollarse en el ámbito académico y son gratuitos. Pueden resultar ineficientes para las operaciones numéricas en comparación con los sistemas numéricos convencionales.

Las expresiones manipuladas por un CAS suelen incluir polinomios multivariables ; funciones estándar de expresiones ( seno , exponencial , etc.); varias funciones especiales ( Γ , ζ , erf , funciones de Bessel , etc.); funciones arbitrarias de expresiones; optimización; derivadas, integrales, simplificaciones, sumas y productos de expresiones; series truncadas con expresiones como coeficientes, matrices de expresiones, etc. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Los dominios numéricos admitidos suelen incluir la representación de punto flotante de números reales , enteros (de tamaño ilimitado), complejos (representación de punto flotante), representación de intervalos de números reales , números racionales (representación exacta) y números algebraicos .

Muchos han abogado por aumentar el uso de sistemas de álgebra computacional en las aulas de primaria y secundaria. La razón principal de esta defensa es que los sistemas de álgebra computacional representan las matemáticas del mundo real mejor que las matemáticas basadas en papel y lápiz o calculadora. ^{[ 18 ]} Este impulso para aumentar el uso de computadoras en las clases de matemáticas ha sido respaldado por algunas juntas de educación. Incluso se ha hecho obligatorio en el currículo de algunas regiones. ^{[ 19 ]}

Los sistemas de álgebra computacional se han utilizado ampliamente en la educación superior. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Muchas universidades ofrecen cursos específicos para desarrollar su uso, o bien esperan implícitamente que los estudiantes los utilicen en sus trabajos académicos. Las empresas que desarrollan sistemas de álgebra computacional han impulsado su adopción generalizada en programas universitarios y de educación superior. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Las calculadoras equipadas con CAS no están permitidas en el ACT , el PLAN , el SAT y en algunas aulas ^{[ 24 ] [ 25 ]} aunque pueden estar permitidas en las pruebas AP del College Board que permiten el uso de calculadoras , incluidos los exámenes AP de Cálculo , Química , Física y Estadística . ^{[ 25 ]}

• Algoritmo de completación de Knuth-Bendix ^{[ 26 ]}
• Algoritmos de búsqueda de raíces ^{[ 26 ]}
• Integración simbólica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Risch o el algoritmo de Risch-Norman
• Suma hipergeométrica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gosper.
• Limitar el cálculo mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gruntz.
• Factorización polinomial mediante, por ejemplo, sobre cuerpos finitos, ^{[ 27 ]} el algoritmo de Berlekamp o el algoritmo de Cantor-Zassenhaus .
• Máximo común divisor mediante, por ejemplo, el algoritmo euclidiano.
• Eliminación gaussiana ^{[ 28 ]}
• Base de Gröbner mediante, por ejemplo, el algoritmo de Buchberger ; generalización del algoritmo euclidiano y eliminación gaussiana.
• Padé aproximante
• Lema de Schwartz-Zippel y comprobación de identidades polinómicas
• Teorema chino del resto
• Ecuaciones diofánticas
• Algoritmo de Landau (radicales anidados)
• Derivadas de funciones elementales y funciones especiales . (Por ejemplo, véase derivadas de la función gamma incompleta ).
• Descomposición algebraica cilíndrica
• Eliminación de cuantificadores sobre números reales mediante descomposición algebraica cilíndrica.

• Lista de sistemas de álgebra computacional
• Computación científica
• Paquete estadístico
• Demostración automatizada de teoremas
• Lenguaje de modelado algebraico
• Programación con lógica de restricciones
• Satisfacibilidad módulo teorías

• Currículo y evaluación en la era de los sistemas de álgebra computacional. Archivado el 1 de diciembre de 2009 en Wayback Machine – Del Centro de Información de Recursos Educativos Clearinghouse para la Ciencia, las Matemáticas y la Educación Ambiental, Columbus, Ohio .
• Richard J. Fateman. "Ensayos sobre simplificación algebraica". Informe técnico MIT-LCS-TR-095, 1972. (De interés histórico por mostrar la dirección de la investigación en álgebra computacional. En el sitio web del MIT LCS:)