Ideal primo mínimo

En matemáticas , especialmente en álgebra conmutativa , ciertos ideales primos llamados ideales primos minimales desempeñan un papel importante en la comprensión de anillos y módulos . La noción de altura y el teorema del ideal principal de Krull utilizan ideales primos minimales.

Se dice que un ideal primo P es un ideal primo minimal sobre un ideal I si es minimal entre todos los ideales primos que contienen a I. (Nota: si I es un ideal primo, entonces I es el único ideal primo minimal sobre él). Se dice que un ideal primo es simplemente un ideal primo minimal si es un ideal primo minimal sobre el ideal cero .

Un ideal primo mínimo sobre un ideal I en un anillo noetheriano R es precisamente un primo asociado mínimo (también llamado primo aislado) de${\displaystyle R/I}$; esto se deduce, por ejemplo, de la descomposición primaria de I.

• En un anillo artiniano conmutativo , todo ideal maximal es un ideal primo minimal.
• En un dominio integral , el único ideal primo mínimo es el ideal cero.
• En el anillo Z de los enteros , los ideales primos mínimos sobre un ideal principal distinto de cero ( n ) son los ideales principales ( p ), donde p es un divisor primo de n . El único ideal primo mínimo sobre el ideal cero es el ideal cero mismo. Afirmaciones similares son válidas para cualquier dominio de ideales principales .
• Si I es un ideal primario p ( por ejemplo, una potencia simbólica de p ), entonces p es el único ideal primo mínimo sobre I.
• Los ideales${\displaystyle (x)}$y${\displaystyle (y)}$son los ideales primos mínimos en${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$puesto que son la extensión de ideales primos para el morfismo${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$, contienen el ideal cero (que no es primo ya que${\displaystyle x\cdot y=0\in (0)}$, pero, ninguno${\displaystyle x}$ni${\displaystyle y}$están contenidos en el ideal cero) y no están contenidos en ningún otro ideal primo.
• En${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$los primos mínimos sobre el ideal${\displaystyle ((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})}$son los ideales${\displaystyle (x^{3}-y^{3}-z^{3})}$y${\displaystyle (x^{5}+y^{5}+z^{5})}$.
• Dejar${\displaystyle A=\mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})}$y${\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}}$las imágenes de x , y en A. Entonces${\displaystyle ({\overline {x}})}$y${\displaystyle ({\overline {y}})}$son los ideales primos mínimos de A (y no hay otros).${\displaystyle D}$Sea A el conjunto de divisores de cero . Entonces${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$está en D (ya que mata a los distintos de cero)${\displaystyle {\overline {x}}^{2}{\overline {y}}-{\overline {x}}{\overline {y}}^{2}}$) mientras que ninguno en${\displaystyle ({\overline {x}})}$ni${\displaystyle ({\overline {y}})}$; entonces${\displaystyle ({\overline {x}})\cup ({\overline {y}})\subsetneq D}$.

Se supone que todos los anillos son conmutativos y unitarios .

• Todo ideal propio I en un anillo tiene al menos un ideal primo minimal por encima de él. La demostración de este hecho utiliza el lema de Zorn . ^{[ 1 ]} Todo ideal maximal que contiene a I es primo, y tales ideales existen, por lo que el conjunto de ideales primos que contienen a I no es vacío. La intersección de una cadena decreciente de ideales primos es prima. Por lo tanto, el conjunto de ideales primos que contienen a I tiene un elemento minimal , que es un primo minimal sobre I.
• Emmy Noether demostró que en un anillo noetheriano , solo hay un número finito de ideales primos mínimos sobre cualquier ideal dado. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El hecho sigue siendo cierto si se reemplaza "noetheriano" por las condiciones de cadena ascendente en ideales radicales .
• El radical${\displaystyle {\sqrt {I}}}$La intersección de cualquier ideal propio I coincide con la intersección de los ideales primos mínimos sobre I. Esto se deduce del hecho de que todo ideal primo contiene un ideal primo mínimo.
• El conjunto de divisores de cero de un anillo dado contiene la unión de los ideales primos mínimos. ^{[ 4 ]}
• El teorema del ideal principal de Krull dice que, en un anillo noetheriano, cada primo mínimo sobre un ideal principal tiene altura como máximo uno.
• Cada ideal propio I de un anillo noetheriano contiene un producto de los ideales primos mínimos posiblemente repetidos sobre él (Demostración:${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{i}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}}$es la intersección de los ideales primos mínimos sobre I. Para algún n ,${\displaystyle {\sqrt {I}}^{n}\subset I}$y por eso yo contengo${\displaystyle \prod _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{n}}$.)
• Un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$En un anillo R , un número primo mínimo único sobre un ideal I es si y solo si${\displaystyle {\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}}$y tal yo es${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primario si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es máximo. Esto proporciona un criterio local para un primo mínimo: un ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un primo mínimo sobre I si y solo si${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$es un${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$-ideal primario. Cuando R es un anillo noetheriano,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un primo mínimo sobre I si y solo si${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}}$es un anillo artiniano (es decir,${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$es el módulo nilpotente I ). La preimagen de${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$bajo${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$es un ideal primario de${\displaystyle R}$llamado el${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$- componente principal de I.
• Cuando${\displaystyle A}$es local noetheriano , con ideal máximo${\displaystyle P}$,${\displaystyle P\supseteq I}$es mínimo sobre${\displaystyle I}$si y solo si existe un número${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle P^{m}\subsetequ I}$.

Para un ideal principal mínimo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en un anillo local${\displaystyle A}$En general, no tiene por qué ser así.${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$, la dimensión de Krull de${\displaystyle A}$.

Un anillo local noetheriano${\displaystyle A}$Se dice que es equidimensional si para cada ideal primo mínimo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$,${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$Por ejemplo, un dominio integral noetheriano local y un anillo de Cohen-Macaulay local son equidimensionales.

Véase también esquema equidimensional y anillo cuasi-no mezclado .

• Extensión y contracción de los ideales
• Normalización

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos , University of Chicago Press , MR 0345945 

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P