Equidistributed sequence

We define the discrepancyD_N for a sequence (s₁, s₂, s₃, ...) with respect to the interval [a, b] as

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {dc}{ba}}\right\vert .}$

A sequence is thus equidistributed if the discrepancy D_N tends to zero as N tends to infinity.

La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar que una secuencia llena el segmento sin dejar huecos. Por ejemplo, las extracciones de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento estarán equidistribuidas en dicho segmento, pero habrá grandes huecos en comparación con una secuencia que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algún ε pequeño, de una manera apropiadamente elegida, y luego continúa haciéndolo para valores de ε cada vez más pequeños. Para criterios más rigurosos y para construcciones de secuencias con una distribución más uniforme, consulte la sección sobre secuencias de baja discrepancia .

Recordemos que si f es una función con una integral de Riemann en el intervalo [ a , b ], entonces su integral es el límite de sumas de Riemann obtenidas al muestrear la función f en un conjunto de puntos elegidos de una partición fina del intervalo. Por lo tanto, si una sucesión está equidistribuida en [ a , b ], se espera que esta sucesión pueda usarse para calcular la integral de una función integrable de Riemann. Esto conduce al siguiente criterio ^{[ 1 ]} para una sucesión equidistribuida:

_{Supongamos que} ( s1 _, s2 , s3 _, ...) es una secuencia contenida en el intervalo [ a , b ]. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes :

1. La secuencia está equidistribuida en [ a , b ].
2. Para cada función f : [ a , b ] integrable de Riemann ( de valores complejos ) : [ a , b ] → ${\displaystyle \mathbb {C} }$Se cumple el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Este criterio lleva a la idea de la integración de Montecarlo , donde las integrales se calculan muestreando la función sobre una secuencia de variables aleatorias equidistribuidas en el intervalo.

No es posible generalizar el criterio integral a una clase de funciones mayor que las integrables de Riemann. Por ejemplo, si se considera la integral de Lebesgue y se toma f en L ¹ , entonces este criterio falla. Como contraejemplo , tomemos f como la función indicadora de alguna sucesión equidistribuida. Entonces, en el criterio, el lado izquierdo siempre es 1, mientras que el lado derecho es cero, porque la sucesión es numerable , por lo que f es cero casi en todas partes .

De hecho, el teorema de De Bruijn-Post establece el recíproco del criterio anterior: si f es una función tal que el criterio anterior se cumple para cualquier secuencia equidistribuida en [ a , b ], entonces f es integrable en el sentido de Riemann en [ a , b ]. ^{[ 2 ]}

• El teorema de equidistribución : La secuencia de todos los múltiplos de un α irracional ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

es equidistribuido módulo 1. ^{[ 3 ]}

• En términos más generales, si p es un polinomio con al menos un coeficiente distinto del término constante irracional, entonces la secuencia p ( n ) está distribuida uniformemente módulo 1.

Esto fue demostrado por Weyl y es una aplicación del teorema de diferencias de van der Corput. ^{[ 4 ]}

• La secuencia log( n ) no está distribuida uniformemente módulo 1. ^{[ 3 ]} Este hecho está relacionado con la ley de Benford .
• La secuencia de todos los múltiplos de un número irracional α por números primos sucesivos ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

es equidistribuido módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números , publicado por IM Vinogradov en 1948. ^{[ 5 ]}

• La secuencia de van der Corput es equidistribuida. ^{[ 6 ]}

El criterio de Weyl establece que la secuencia a _n es equidistribuida módulo 1 si y solo si para todos los enteros distintos de cero ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

El criterio lleva el nombre de Hermann Weyl , quien lo formuló por primera vez . ^{[ 7 ]} Permite reducir las cuestiones de equidistribución a límites en sumas exponenciales , un método fundamental y general.

Una secuencia${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$Se dice que una distribución de números reales es k-uniformemente distribuida módulo 1 si no solo la secuencia de partes fraccionarias${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$se distribuye uniformemente en${\displaystyle [0,1]}$pero también la secuencia${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$, dónde${\displaystyle b_{n}}$se define como${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$, se distribuye uniformemente en${\displaystyle [0,1]^{k}}$.

Una secuencia${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$Se dice que la distribución de los números reales es completamente uniforme módulo 1 .${\displaystyle k}$-distribuido uniformemente para cada número natural${\displaystyle k\geq 1}$.

Por ejemplo, la secuencia${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$es uniformemente distribuida módulo 1 (o 1-uniformemente distribuida) para cualquier número irracional${\displaystyle \alpha }$, pero nunca es siquiera 2-uniformemente distribuida. En contraste, la secuencia${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$está distribuido de manera completamente uniforme para casi todos${\displaystyle \alpha >1}$(es decir, para todos${\displaystyle \alpha }$excepto para un conjunto de medida 0).

Un teorema de Johannes van der Corput ^{[ 8 ]} establece que si para cada h la secuencia s _{n + h} − s _n está uniformemente distribuida módulo 1, entonces también lo está s _n . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Un conjunto de van der Corput es un conjunto H de enteros tal que si para cada h en H la secuencia s _{n + h} − s _n está uniformemente distribuida módulo 1, entonces también lo está s _n . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Los teoremas métricos describen el comportamiento de una secuencia parametrizada para casi todos los valores de algún parámetro α : es decir, para valores de α que no se encuentran en algún conjunto excepcional de medida de Lebesgue cero.

• Para cualquier secuencia de enteros distintos b _n , la secuencia ( b _n α ) es equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α . ^{[ 7 ]}
• La secuencia ( α ⁿ ) está equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α > 1. ^{[ 12 ]}

No se sabe si las secuencias ( e ⁿ ) o ( π ⁿ ) están equidistribuidas módulo 1. Sin embargo, se sabe que la secuencia ( α ⁿ ) no está equidistribuida módulo 1 si α es un número PV .