Norma (matemáticas)

Si una norma${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$se da en un espacio vectorial${\displaystyle X,}$entonces la norma de un vector${\displaystyle z\in X}$Se suele indicar encerrándolo entre dos líneas verticales:${\displaystyle \|z\|=p(z)}$, como propuso Stefan Banach en su tesis doctoral de 1920. Dicha notación también se utiliza a veces si${\displaystyle p}$es solo una seminorma. Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de norma, como se explica más adelante ), la notación${\displaystyle |x|}$También está muy extendido el uso de líneas verticales simples.

El valor absoluto${\displaystyle |x|}$ es una norma en el espacio vectorial formado por los números reales o complejos . Los números complejos forman un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismos y un espacio vectorial bidimensional sobre los reales, y el valor absoluto es una norma para estas dos estructuras. Por ejemplo, 1 como base y los números complejos como escalares forman un espacio vectorial unidimensional, mientras que${\textstyle \{1,i\}}$como base y los números reales como escalares forman un espacio vectorial bidimensional, y el valor absoluto${\estilo de texto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$de un número complejo${\displaystyle z=x+iy}$, dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son números reales, forman una norma.

Cualquier norma${\displaystyle p}$en un espacio vectorial unidimensional${\displaystyle X}$es equivalente (salvo escalamiento) a la norma del valor absoluto, lo que significa que existe un isomorfismo de espacios vectoriales que preserva la norma.${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$dónde${\displaystyle \mathbb {F} }$es o${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y preservar las normas significa que${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ Este isomorfismo se da enviando${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$a un vector de norma${\displaystyle 1,}$que existe puesto que dicho vector se obtiene multiplicando cualquier vector distinto de cero por el inverso de su norma.

En el${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$la noción intuitiva de longitud del vector${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$se captura mediante la fórmula ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Esta es la norma euclidiana , que proporciona la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X , consecuencia del teorema de Pitágoras . Esta operación también puede denominarse "SRSS", acrónimo de raíz cuadrada de la suma de cuadrados . ^{[ 10 ]}

La norma euclidiana es, con mucho, la norma más utilizada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$^{[ 9 ]} pero existen otras normas en este espacio vectorial, como se mostrará más adelante. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que definen la misma topología en espacios de dimensión finita.

El producto escalar de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal . Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir de forma independiente de las coordenadas como $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

La norma euclidiana también se denomina norma cuadrática ,${\displaystyle L^{2}}$norma , ^{[ 11 ]}${\displaystyle \ell ^{2}}$norma , 2-norma o norma cuadrada ; véase${\displaystyle L^{p}}$espacio . Define una función de distancia llamada longitud euclidiana ,${\displaystyle L^{2}}$distancia , o${\displaystyle \ell ^{2}}$distancia .

El conjunto de vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma una${\displaystyle n}$-esfera .

Hay exactamente cuatro álgebras de Hurwitz euclidianas sobre los números reales . Estos son los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} ,}$los cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} ,}$y por último los octoniones${\displaystyle \mathbb {O} ,}$donde las dimensiones de estos espacios sobre los números reales son${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$respectivamente. Las normas canónicas sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$son sus funciones de valor absoluto , como se explicó anteriormente.

La norma canónica sobre${\displaystyle \mathbb {H} }$de cuaterniones se define por $${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ por cada cuaternión${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$en${\displaystyle \mathbb {H} .}$Esto es lo mismo que la norma euclidiana en${\displaystyle \mathbb {H} }$considerado como el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$De manera similar, la norma canónica en los octoniones es simplemente la norma euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

En un${\displaystyle n}$espacio complejo dimensional${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$La norma más común es $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto escalar del vector y él mismo: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$se representa como un vector columna${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$denota su transpuesta conjugada .

Esta fórmula es válida para cualquier espacio con producto interno , incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo . Por lo tanto, en este caso la fórmula también se puede escribir utilizando la siguiente notación: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$ El nombre se relaciona con la distancia que un taxi tiene que recorrer en una cuadrícula de calles rectangular (como la del distrito neoyorquino de Manhattan ) para llegar desde el origen hasta el punto de destino.${\displaystyle x.}$

El conjunto de vectores cuya norma 1 es una constante dada forma la superficie de un politopo cruzado , que tiene dimensión igual a la dimensión del espacio vectorial menos 1. La norma Taxicab también se llama${\displaystyle \ell ^{1}}$norma . La distancia derivada de esta norma se llama distancia de Manhattan o${\displaystyle \ell ^{1}}$distancia .

La norma L1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

Por el contrario, $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$ No es lo habitual porque puede dar lugar a resultados negativos.

Dejar${\displaystyle p\geq 1}$ser un número real. El${\displaystyle p}$-norma (también llamada${\displaystyle \ell ^{p}}$-norma) del vector${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$ Para${\displaystyle p=1,}$obtenemos la norma del taxi , para${\displaystyle p=2}$obtenemos la norma euclidiana y como${\displaystyle p}$aproches${\displaystyle \infty }$el${\displaystyle p}$-la norma se aproxima a la norma del infinito o norma máxima : $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ El${\displaystyle p}$La norma - está relacionada con la media generalizada o la media potencial.

Para${\displaystyle p=2,}$el${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$La norma -es incluso inducida por un producto interno canónico${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$lo que significa que${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$para todos los vectores${\displaystyle \mathbf {x} .}$Este producto interno puede expresarse en términos de la norma utilizando la identidad de polarización .${\displaystyle \ell ^{2},}$este producto interno es elProducto interno euclidiano definido por $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ mientras que para el espacio${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$asociado con un espacio de medidas${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$que consta de todas las funciones de cuadrado integrable , este producto interno es $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Esta definición sigue siendo de cierto interés para${\displaystyle 0<p<1,}$pero la función resultante no define una norma, ^{[ 12 ]} porque viola la desigualdad triangular . Lo que es cierto para este caso de${\displaystyle 0<p<1,}$incluso en el análogo medible, es que el correspondiente${\displaystyle L^{p}}$La clase es un espacio vectorial, y también es cierto que la función $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ (sin${\displaystyle p}$raíz th) define una distancia que hace${\displaystyle L^{p}(X)}$en un espacio vectorial topológico métrico completo . Estos espacios son de gran interés en el análisis funcional , la teoría de la probabilidad y el análisis armónico . Sin embargo, salvo casos triviales, este espacio vectorial topológico no es localmente convexo y carece de formas lineales continuas no nulas. Por lo tanto, el espacio dual topológico contiene únicamente el funcional cero.

La derivada parcial de la${\displaystyle p}$La norma viene dada por $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

La derivada con respecto a${\displaystyle x,}$Por lo tanto, es $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$ dónde${\displaystyle \circ }$denota el producto de Hadamard y${\displaystyle |\cdot |}$se utiliza para el valor absoluto de cada componente del vector.

Para el caso especial de${\displaystyle p=2,}$esto se convierte en $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ o $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

Si${\displaystyle \mathbf {x} }$es algún vector tal que${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$entonces: $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada,${\displaystyle c,}$forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista${\displaystyle 2c.}$

La norma energética ^{[ 13 ]} de un vector${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$se define en términos de una matriz simétrica definida positiva${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$como

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Está claro que si${\displaystyle A}$es la matriz identidad , esta norma corresponde a la norma euclidiana . Si${\displaystyle A}$es diagonal, esta norma también se denomina norma ponderada . La norma de energía está inducida por el producto interno dado por${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$para${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

En general, el valor de la norma depende del espectro de${\displaystyle A}$: Para un vector${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$con una norma euclidiana de uno, el valor de${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$está acotado inferior y superiormente por los autovalores absolutos más pequeños y más grandes de${\displaystyle A}$respectivamente, donde los límites se alcanzan si${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$coincide con los autovectores (normalizados) correspondientes. Basado en la raíz cuadrada de la matriz simétrica${\displaystyle A^{1/2}}$, la norma energética de un vector se puede escribir en términos de la norma euclidiana estándar como

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

En probabilidad y análisis funcional, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones medibles y para el espacio F de secuencias con norma F.${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$^{[ 14 ]} Aquí entendemos pornorma Falguna función de valor real${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$en un espacio F con distancia${\displaystyle d,}$de tal manera que${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$La norma F descrita anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida.

La generalización de las normas anteriores a un número infinito de componentes conduce a${\displaystyle \ell ^{p}}$y${\displaystyle L^{p}}$espacios para${\displaystyle p\geq 1\,,}$con normas

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

para secuencias y funciones de valores complejos en${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$respectivamente, que pueden generalizarse aún más (véase la medida de Haar ). Estas normas también son válidas en el límite como${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$, dando una norma suprema , y ​​se llaman${\displaystyle \ell ^{\infty }}$y${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Cualquier producto interno induce de forma natural la norma.${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita se pueden encontrar en el artículo sobre espacios de Banach .

Generalmente, estas normas no dan lugar a las mismas topologías. Por ejemplo, una dimensión infinita.${\displaystyle \ell ^{p}}$El espacio proporciona una topología estrictamente más fina que una dimensión infinita.${\displaystyle \ell ^{q}}$espacio cuando${\displaystyle p<q\,.}$

Otras normas sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se puede construir combinando lo anterior; por ejemplo $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ es una norma en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva${\displaystyle A}$podemos definir una nueva norma de${\displaystyle x,}$igual a $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ En 2D, con${\displaystyle A}$una rotación de 45° y un escalado adecuado, esto cambia la norma del taxi a la norma máxima. Cada${\displaystyle A}$Aplicada a la norma del taxi, salvo inversión e intercambio de ejes, da como resultado una bola unitaria diferente: un paralelogramo de una forma, tamaño y orientación particulares.

En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 ( octaedros ) y la norma máxima ( prismas con base de paralelogramo).

Hay ejemplos de normas que no se definen mediante fórmulas "entrada por entrada". Por ejemplo, el funcional de Minkowski de un cuerpo convexo con simetría central en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(centrada en cero) define una norma en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(véase §  Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos más adelante).

Todas las fórmulas anteriores también producen normas sobre${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$sin modificaciones.

También existen normas en espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales .

Dejar${\displaystyle E}$ser una extensión finita de un campo${\displaystyle k}$de grado inseparable${\displaystyle p^{\mu },}$y dejar${\displaystyle k}$tener cierre algebraico${\displaystyle K.}$ Si las distintas incrustaciones de${\displaystyle E}$son${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$entonces la norma teórica de Galois de un elemento${\displaystyle \alpha \in E}$es el valor${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ Como esa función es homogénea de grado${\displaystyle [E:k]}$, la norma teórica de Galois no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, la${\displaystyle [E:k]}$La raíz -ésima de la norma (suponiendo que ese concepto tenga sentido) es una norma. ^{[ 15 ]}

El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de norma 1) es diferente en distintas normas: para la norma 1, el círculo unitario es un cuadrado orientado como un diamante; para la norma 2 (norma euclidiana), es el conocido círculo unitario ; mientras que para la norma infinito, es un cuadrado alineado con los ejes. Para cualquier${\displaystyle p}$-norma, es una superelipse con ejes congruentes (ver la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo unitario debe ser convexo y centralmente simétrico (por lo tanto, por ejemplo, la bola unitaria puede ser un rectángulo pero no puede ser un triángulo, y${\displaystyle p\geq 1}$por un${\displaystyle p}$-norma).

En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando la seminorma puede distinguir entre vectores distintos, lo que nuevamente es equivalente a que la seminorma sea una norma. La topología así definida (ya sea por una norma o una seminorma) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Una secuencia de vectores${\displaystyle \{v_{n}\}}$Se dice que converge en norma a${\displaystyle v,}$si${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$como${\displaystyle n\to \infty .}$De forma equivalente, la topología consiste en todos los conjuntos que pueden representarse como una unión de bolas abiertas .${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$es un espacio normado entonces ^{[ 18 ]}${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Dos normas${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$y${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$se llamanequivalentes si inducen la misma topología, ^{[ 19 ]} lo cual sucede si y solo si existen números reales positivos${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$de tal manera que para todos${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ Por ejemplo, si${\displaystyle p>r\geq 1}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$entonces ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

En particular, $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ Eso es, $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$ Si el espacio vectorial es real o complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Por otro lado, en el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, no todas las normas son equivalentes.

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos fines, no es necesario distinguirlas. Más precisamente, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa . Esta forma de equivalencia no debe interpretarse erróneamente como una indicación de que las normas son siempre intercambiables. En el contexto del ajuste de modelos, por ejemplo, diferentes normas pueden dar lugar a ajustes distintos y a diferentes eficiencias algorítmicas.