Erlang (unidad)

El erlang (símbolo E ^{[ 1 ]} ) es una unidad adimensional que se utiliza en telefonía como medida de la carga ofrecida o transportada en elementos de prestación de servicios, como circuitos telefónicos o equipos de conmutación telefónica. Un circuito de un solo cable tiene capacidad para ser utilizado durante 60 minutos en una hora. La utilización total de esa capacidad, es decir, 60 minutos de tráfico, constituye 1 erlang. ^{[ 2 ]}

En Erlang, el tráfico gestionado es el número promedio de llamadas simultáneas medidas durante un período determinado (generalmente una hora), mientras que el tráfico ofrecido es el que se gestionaría si todos los intentos de llamada tuvieran éxito. La cantidad de tráfico ofrecido que se gestiona en la práctica dependerá de lo que ocurra con las llamadas no respondidas cuando todos los servidores estén ocupados.

La CCITT denominó a la unidad internacional de tráfico telefónico erlang en 1946 en honor a Agner Krarup Erlang . ^{[ 3 ] [ 4 ]} En su análisis del uso eficiente de las líneas telefónicas, Erlang derivó las fórmulas para dos casos importantes, Erlang-B y Erlang-C, que se convirtieron en resultados fundamentales en la ingeniería de tráfico telefónico y la teoría de colas . Sus resultados, que aún se utilizan hoy en día, relacionan la calidad del servicio con el número de servidores disponibles. Ambas fórmulas toman la carga ofrecida como una de sus entradas principales (en erlangs), que a menudo se expresa como la tasa de llegada de llamadas multiplicada por la duración promedio de las llamadas.

Una suposición distintiva de la fórmula de Erlang B es que no existe una cola, por lo que si todos los elementos de servicio ya están en uso, una nueva llamada se bloqueará y se perderá. La fórmula proporciona la probabilidad de que esto ocurra. En cambio, la fórmula de Erlang C contempla la posibilidad de una cola ilimitada y proporciona la probabilidad de que una nueva llamada deba esperar en la cola debido a que todos los servidores están en uso. Las fórmulas de Erlang son bastante aplicables, pero pueden fallar cuando la congestión es especialmente alta, lo que provoca que el tráfico fallido se reintente repetidamente. Una forma de tener en cuenta los reintentos cuando no hay cola disponible es el método de Erlang B extendido.

Cuando se utiliza para representar el tráfico transportado , un valor (que puede ser un número no entero como 43,5) seguido de "erlangs" representa el número promedio de llamadas simultáneas transportadas por los circuitos (u otros elementos que prestan servicios), donde ese promedio se calcula durante un período de tiempo razonable. El período sobre el cual se calcula el promedio suele ser de una hora, pero se pueden usar períodos más cortos (por ejemplo, 15 minutos) cuando se sabe que hay breves picos de demanda y se desea una medición de tráfico que no enmascare estos picos. Un erlang de tráfico transportado se refiere a un solo recurso que está en uso continuo, o dos canales que están en uso cada uno por el cincuenta por ciento del tiempo, y así sucesivamente. Por ejemplo, si una oficina tiene dos operadores telefónicos que están ocupados todo el tiempo, eso representaría dos erlangs (2 E) de tráfico; o se dice que un canal de radio que está ocupado continuamente durante el período de interés (por ejemplo, una hora) tiene una carga de 1 erlang.

Cuando se utiliza para describir el tráfico ofrecido , un valor seguido de "erlangs" representa el número promedio de llamadas simultáneas que se habrían realizado si hubiera un número ilimitado de circuitos (es decir, si los intentos de llamada realizados cuando todos los circuitos estaban en uso no hubieran sido rechazados). La relación entre el tráfico ofrecido y el tráfico realizado depende del diseño del sistema y del comportamiento del usuario. Tres modelos comunes son: (a) los usuarios cuyos intentos de llamada son rechazados se van y no vuelven, (b) los usuarios cuyos intentos de llamada son rechazados lo intentan de nuevo en un lapso de tiempo relativamente corto, y (c) el sistema permite a los usuarios esperar en cola hasta que un circuito esté disponible.

Una tercera medida del tráfico es el tráfico instantáneo , expresado en un número determinado de erlangs, que representa la cantidad exacta de llamadas que se realizan en un momento dado. En este caso, el número es un entero no negativo . Los dispositivos de registro de nivel de tráfico, como los registradores de pluma móvil, grafican el tráfico instantáneo.

Los conceptos y las matemáticas introducidos por Agner Krarup Erlang tienen una amplia aplicabilidad más allá de la telefonía. Se aplican en cualquier ámbito donde los usuarios acceden de forma más o menos aleatoria para recibir un servicio exclusivo de cualquiera de un grupo de proveedores de servicios sin reserva previa; por ejemplo, en taquillas, aseos de avión o habitaciones de motel. (Los modelos de Erlang no se aplican cuando los proveedores de servicios son compartidos por varios usuarios simultáneos o cuando distintos usuarios consumen diferentes cantidades de servicio, como en circuitos de transmisión de datos).

El objetivo de la teoría de tráfico de Erlang es determinar con precisión cuántos elementos de prestación de servicios deben proporcionarse para satisfacer a los usuarios, sin un sobredimensionamiento innecesario. Para ello, se establece un objetivo para el grado de servicio (GoS) o la calidad de servicio (QoS). Por ejemplo, en un sistema sin colas, el GoS puede ser que no más de 1 llamada de cada 100 sea bloqueada (es decir, rechazada) debido a que todos los circuitos estén en uso (un GoS de 0,01), que se convierte en la probabilidad objetivo de bloqueo de llamadas, P _b , al utilizar la fórmula B de Erlang.

Existen varias fórmulas resultantes, como Erlang B , Erlang C y la fórmula relacionada de Engset , basadas en diferentes modelos de comportamiento del usuario y funcionamiento del sistema. Cada una de ellas puede derivarse mediante un caso especial de procesos de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento-muerte . El método más reciente , Erlang B extendido, proporciona una solución adicional para el tráfico que se basa en los resultados de Erlang.

El tráfico ofrecido (en erlangs) está relacionado con la tasa de llegada de llamadas , λ , y el tiempo promedio de espera de llamadas (el tiempo promedio de una llamada telefónica), h , mediante:

${\displaystyle E=\lambda h}$

siempre que h y λ se expresen utilizando las mismas unidades de tiempo (segundos y llamadas por segundo, o minutos y llamadas por minuto).

La medición práctica del tráfico se basa generalmente en observaciones continuas durante varios días o semanas, registrando el tráfico instantáneo a intervalos cortos y regulares (por ejemplo, cada pocos segundos). Estas mediciones se utilizan para calcular un único resultado, generalmente el tráfico en hora punta (en erlangs). Este es el número promedio de llamadas simultáneas durante un período de una hora determinado, seleccionado para obtener el resultado más alto. (Este resultado se denomina tráfico en hora punta consistente en el tiempo). Otra opción es calcular el valor del tráfico en hora punta por separado para cada día (que puede corresponder a momentos ligeramente diferentes cada día) y tomar el promedio de estos valores. Esto generalmente da un valor ligeramente superior al del tráfico en hora punta consistente en el tiempo.

Cuando el tráfico existente en hora punta, E _c , se mide en un sistema ya sobrecargado, con un nivel significativo de bloqueo, es necesario tener en cuenta las llamadas bloqueadas al estimar el tráfico ofrecido en hora punta E _o (que es el valor de tráfico que se utilizará en las fórmulas de Erlang). El tráfico ofrecido se puede estimar mediante E _o = E _c /(1 − P _b ) . Para este propósito, cuando el sistema incluye un medio para contar las llamadas bloqueadas y las llamadas exitosas, P _b se puede estimar directamente a partir de la proporción de llamadas que se bloquean. En su defecto, P _b se puede estimar utilizando E _c en lugar de E _o en la fórmula de Erlang y la estimación resultante de P _b se puede utilizar en E _o = E _c /(1 − P _b ) para proporcionar una primera estimación de E _o .

Otro método para estimar E _o en un sistema sobrecargado es medir la tasa de llegada de llamadas en hora punta, λ (contando las llamadas exitosas y las llamadas bloqueadas), y el tiempo promedio de espera de llamada (para las llamadas exitosas), h , y luego estimar E _o usando la fórmula E = λh .

En una situación donde el tráfico a gestionar es completamente nuevo, la única opción es intentar modelar el comportamiento esperado del usuario. Por ejemplo, se podría estimar la población de usuarios activos, N , el nivel de uso esperado, U (número de llamadas/transacciones por usuario al día), el factor de concentración de la hora punta, C (proporción de la actividad diaria que se producirá en la hora punta), y el tiempo medio de espera/servicio, h (expresado en minutos). Una proyección del tráfico ofrecido en la hora punta sería entonces E _o = ⁠ NUC / 60 ⁠ h  erlangs . (La división por 60 convierte la tasa de llegada de llamadas/transacciones en la hora punta a un valor por minuto, para que coincida con las unidades en las que se expresa h ).

La fórmula de Erlang B (o Erlang-B con guion), también conocida como fórmula de pérdida de Erlang , es una fórmula para la probabilidad de bloqueo que describe la probabilidad de pérdida de llamadas para un grupo de recursos paralelos idénticos (líneas telefónicas, circuitos, canales de tráfico o equivalentes), a veces denominado cola M/M/c/c . ^{[ 5 ]} Se utiliza, por ejemplo, para dimensionar los enlaces de una red telefónica. La fórmula fue derivada por Agner Krarup Erlang y no se limita a las redes telefónicas, ya que describe una probabilidad en un sistema de colas (aunque un caso especial con varios servidores pero sin espacio de cola para que las llamadas entrantes esperen a que haya un servidor libre). Por lo tanto, la fórmula también se utiliza en ciertos sistemas de inventario con ventas perdidas.

La fórmula se aplica bajo la condición de que una llamada fallida, debido a que la línea está ocupada, no se pone en cola ni se vuelve a intentar, sino que simplemente desaparece para siempre. Se supone que los intentos de llamada llegan siguiendo un proceso de Poisson , por lo que los instantes de llegada de las llamadas son independientes. Además, se supone que la duración de los mensajes (tiempos de espera) sigue una distribución exponencial (sistema markoviano), aunque la fórmula resulta ser aplicable a distribuciones generales de tiempo de espera.

La fórmula de Erlang B asume una población infinita de fuentes (como abonados telefónicos) que ofrecen tráfico a N servidores (como líneas telefónicas). La tasa que expresa la frecuencia de llegada de nuevas llamadas, λ (tasa de natalidad, intensidad de tráfico , etc.), es constante y no depende del número de fuentes activas. Se asume que el número total de fuentes es infinito. La fórmula de Erlang B calcula la probabilidad de bloqueo de un sistema de pérdida sin búfer, donde una solicitud que no se atiende inmediatamente se cancela, lo que provoca que no se pongan en cola solicitudes. El bloqueo se produce cuando llega una nueva solicitud en un momento en que todos los servidores disponibles están ocupados. La fórmula también asume que el tráfico bloqueado se elimina y no regresa.

La fórmula proporciona el GoS ( grado de servicio ), que es la probabilidad P _b de que una nueva llamada que llega al grupo de recursos sea rechazada porque todos los recursos (servidores, líneas, circuitos) están ocupados: B ( E , m ) donde E es el tráfico total ofrecido en erlang, ofrecido a m recursos paralelos idénticos (servidores, canales de comunicación, carriles de tráfico).

${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

dónde:

• P _b es la probabilidad de bloqueo
• m es el número de recursos paralelos idénticos, como servidores, líneas telefónicas, etc.
• E = λh es la carga de entrada normalizada (tráfico ofrecido expresado en erlang).

El erlang es una unidad de carga adimensional que se calcula como la tasa media de llegada, λ , multiplicada por el tiempo medio de espera de las llamadas, h . La unidad debe ser adimensional para que la Ley de Little sea dimensionalmente válida.

Esto puede expresarse recursivamente ^{[ 6 ]} de la siguiente manera, en una forma que se utiliza para simplificar el cálculo de las tablas de la fórmula de Erlang B:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Normalmente, en lugar de B ( E , m ) se calcula el inverso 1/ B ( E , m ) en el cálculo numérico para garantizar la estabilidad numérica :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

La forma recursiva se puede derivar de la forma no recursiva mediante sustitución repetida. ^{[ 7 ]}

Función ErlangB ( E As Double , m As Integer ) As Double Dim InvB As Double Dim j As IntegerInvB = 1.0 Para j = 1 Hasta m InvB = 1.0 + InvB * j / E Siguiente j ErlangB = 1.0 / InvB Fin de la función

o una versión en Python:

def erlang_b ( E : float , m : int ) -> float : """Calcula la probabilidad de pérdidas de llamadas.""" inv_b = 1.0 for j in range ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b

La fórmula de Erlang B es decreciente y convexa en m . ^{[ 8 ]} Requiere que las llegadas de llamadas puedan modelarse mediante un proceso de Poisson , lo cual no siempre es una buena coincidencia, pero es válido para cualquier distribución estadística de tiempos de espera de llamadas con una media finita. Se aplica a sistemas de transmisión de tráfico que no almacenan datos en búfer. Ejemplos más modernos, en comparación con POTS, donde Erlang B aún es aplicable, son la conmutación de ráfagas ópticas (OBS) y varios enfoques actuales para la conmutación de paquetes ópticos (OPS). Erlang B se desarrolló como una herramienta de dimensionamiento de troncales para redes telefónicas con tiempos de espera en el rango de minutos, pero al ser una ecuación matemática, se aplica a cualquier escala de tiempo.

El Erlang B extendido difiere de las suposiciones clásicas del Erlang-B al permitir que una proporción de las llamadas bloqueadas lo intenten de nuevo, lo que provoca un aumento en el tráfico ofrecido desde el nivel base inicial. Es un cálculo iterativo en lugar de una fórmula y añade un parámetro adicional, el factor de recuperación.${\displaystyle R_{\text{f}}}$, que define los intentos de recuperación. ^{[ 9 ]}

Los pasos del proceso son los siguientes. ^{[ 10 ]} Comienza en la iteración${\displaystyle k=0}$con un nivel de referencia inicial conocido del tráfico${\displaystyle E_{0}}$, que se ajusta sucesivamente para calcular una secuencia de nuevos valores de tráfico ofrecidos.${\displaystyle E_{k+1}}$cada uno de los cuales tiene en cuenta las retiradas derivadas del tráfico ofrecido calculado previamente${\displaystyle E_{k}}$.

1. Calcula la probabilidad de que una persona que llama sea bloqueada en su primer intento.$${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E_{k},m)}$$como se indicó anteriormente para Erlang B.
2. Calcula el número probable de llamadas bloqueadas.$${\displaystyle B_{\text{e}}=E_{k}P_{\text{b}}}$$
3. Calcular el número de retiradas,${\displaystyle R}$, suponiendo un factor de recuperación fijo,${\displaystyle R_{\text{f}}}$,$${\displaystyle R=B_{\text{e}}R_{\text{f}}}$$
4. Calcular el nuevo tráfico ofrecido$${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R}$$dónde${\displaystyle E_{0}}$es el nivel inicial (de referencia) de tráfico.
5. Regrese al paso 1, sustituyendo${\displaystyle E_{k+1}}$para${\displaystyle E_{k}}$y repetir hasta obtener un valor estable de${\displaystyle E}$se obtiene.

Una vez que un valor satisfactorio de${\displaystyle E}$Se ha encontrado la probabilidad de bloqueo${\displaystyle P_{\text{b}}}$y el factor de recuperación se puede utilizar para calcular la probabilidad de que se pierdan todos los intentos de una persona que llama, no solo su primera llamada, sino también cualquier reintento posterior.

La fórmula de Erlang C expresa la probabilidad de que un cliente que llega tenga que hacer cola (en lugar de ser atendido inmediatamente). ^{[ 11 ]} Al igual que la fórmula de Erlang B, Erlang C supone una población infinita de fuentes, que en conjunto ofrecen tráfico de${\displaystyle E}$erlangs a${\displaystyle m}$servidores. Sin embargo, si todos los servidores están ocupados cuando llega una solicitud de una fuente, la solicitud se pone en cola. De esta manera, se puede mantener en cola un número ilimitado de solicitudes simultáneamente. Esta fórmula calcula la probabilidad de poner en cola el tráfico ofrecido, suponiendo que las llamadas bloqueadas permanecen en el sistema hasta que se puedan gestionar. Esta fórmula se utiliza para determinar el número de agentes o representantes de servicio al cliente necesarios para dotar de personal a un centro de llamadas , para una probabilidad de cola deseada específica. Sin embargo, la fórmula de Erlang C supone que las personas que llaman nunca cuelgan mientras están en cola, lo que hace que la fórmula prediga que se deberían utilizar más agentes de los que realmente se necesitan para mantener un nivel de servicio deseado.

${\displaystyle P_{\text{w}}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle E}$es el tráfico total ofrecido en unidades de erlangs
• ${\displaystyle m}$es el número de servidores
• ${\displaystyle P_{\text{w}}}$es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido.

Se supone que la llegada de llamadas se puede modelar mediante un proceso de Poisson y que los tiempos de espera de las llamadas se describen mediante una distribución exponencial ; por lo tanto, la fórmula de Erlang C se deriva de las suposiciones del modelo de cola M/M/c .

Cuando Erlang desarrolló las ecuaciones de tráfico Erlang-B y Erlang-C, lo hizo basándose en una serie de supuestos. Estos supuestos son precisos en la mayoría de las condiciones; sin embargo, en caso de una congestión de tráfico extremadamente alta, las ecuaciones de Erlang no logran predecir con precisión el número correcto de circuitos necesarios debido al tráfico de reentrada. Esto se denomina sistema de alta pérdida , donde la congestión genera aún más congestión en las horas pico. En tales casos, primero es necesario habilitar muchos circuitos adicionales para poder mitigar la alta pérdida. Una vez tomada esta medida, la congestión volverá a niveles razonables y las ecuaciones de Erlang podrán utilizarse para determinar con exactitud cuántos circuitos se requieren realmente. ^{[ 12 ]}

Un ejemplo de una situación que podría provocar el desarrollo de un sistema de alta pérdida sería si un anuncio televisivo indicara un número de teléfono específico al que llamar a una hora determinada. En este caso, un gran número de personas llamaría simultáneamente al número proporcionado. Si el proveedor de servicios no hubiera previsto este pico repentino de demanda , se produciría una congestión extrema del tráfico y las ecuaciones de Erlang no podrían utilizarse. ^{[ 12 ]}

• Centro de atención telefónica : oficina que gestiona un gran volumen de consultas por teléfono. 
• Simulación de eventos discretos – Tipo de simulación 
• Fórmula de Engset
• Distribución de Erlang : Familia de distribuciones de probabilidad continuas 
• Lenguaje de programación Erlang – Lenguaje de programación Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Distribución de Poisson – Distribución de probabilidad discreta 
• Eficiencia espectral : Tasa de información que se puede transmitir a través de un ancho de banda determinado. 
• Mix de tráfico : modelo en telecomunicaciones 

• «Solución de algunos problemas en la teoría de probabilidades de significancia en centrales telefónicas automáticas» (PDF) . Elektrotkeknikeren . 13 :5. 1917. Archivado del original (PDF) el 19 de julio de 2011.