Programa de Erlangen

En matemáticas, el programa de Erlangen es un método para caracterizar geometrías basado en la teoría de grupos y la geometría proyectiva . Fue publicado por Felix Klein en 1872 como Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Lleva el nombre de la Universidad Erlangen-Nürnberg , donde trabajaba Klein.

En 1872, habían surgido geometrías no euclidianas , pero sin una forma de determinar su jerarquía y relaciones. El método de Klein fue fundamentalmente innovador en tres aspectos:

• La geometría proyectiva se destacó como el marco unificador para todas las demás geometrías que consideró. En particular, la geometría euclidiana era más restrictiva que la geometría afín , la cual, a su vez, es más restrictiva que la geometría proyectiva.

• Klein propuso que la teoría de grupos , una rama de las matemáticas que utiliza métodos algebraicos para abstraer la idea de simetría , era la forma más útil de organizar el conocimiento geométrico; en ese momento ya se había introducido en la teoría de ecuaciones en forma de teoría de Galois .

• Klein explicitó con mayor claridad la idea de que cada lenguaje geométrico poseía sus propios conceptos apropiados; así, por ejemplo, la geometría proyectiva hablaba correctamente de secciones cónicas , pero no de círculos ni ángulos, ya que estas nociones no eran invariantes bajo transformaciones proyectivas (algo familiar en la perspectiva geométrica ). La forma en que los diversos lenguajes de la geometría volvían a converger podía explicarse por la manera en que los subgrupos de un grupo de simetría se relacionaban entre sí.

Más tarde, Élie Cartan generalizó los espacios modelo homogéneos de Klein a conexiones de Cartan en ciertos haces principales , lo que generalizó la geometría riemanniana .

Desde Euclides , la geometría se había entendido como la geometría del espacio euclidiano de dos dimensiones ( geometría plana ) o de tres dimensiones ( geometría del espacio ). En la primera mitad del siglo XIX, varios avances complicaron el panorama. Las aplicaciones matemáticas requerían geometría de cuatro o más dimensiones ; el análisis minucioso de los fundamentos de la geometría euclidiana tradicional reveló la independencia del postulado de las paralelas respecto de los demás, dando origen a la geometría no euclidiana . Klein propuso que todas estas nuevas geometrías son, en realidad, casos particulares de la geometría proyectiva , ya desarrollada por Poncelet , Möbius , Cayley y otros. Klein también sugirió enfáticamente a los físicos matemáticos que incluso un estudio moderado del ámbito proyectivo podría reportarles beneficios sustanciales.

Klein asoció a cada geometría un grupo subyacente de simetrías . La jerarquía de geometrías se representa matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes . Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo euclidiano de simetrías, mientras que solo la estructura de incidencia y la razón antagónica se conservan bajo las transformaciones proyectivas más generales . El concepto de paralelismo , que se conserva en la geometría afín , carece de sentido en la geometría proyectiva . Por lo tanto, al abstraer los grupos subyacentes de simetrías de las geometrías, las relaciones entre ellas pueden restablecerse a nivel de grupo. Dado que el grupo de la geometría afín es un subgrupo del grupo de la geometría proyectiva, cualquier noción invariante en la geometría proyectiva tiene, a priori, sentido en la geometría afín; pero no al revés. Si se eliminan las simetrías requeridas, se obtiene una teoría más potente, pero con menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y generales).

En otras palabras, los "espacios tradicionales" son espacios homogéneos ; pero no para un grupo determinado de forma unívoca. Cambiar el grupo cambia el lenguaje geométrico apropiado.

En el lenguaje actual, los grupos que intervienen en la geometría clásica se conocen como grupos de Lie : los grupos clásicos . Las relaciones específicas se describen de forma bastante sencilla, utilizando un lenguaje técnico.

Por ejemplo, el grupo de geometría proyectiva en n dimensiones reales es el grupo de simetría del espacio proyectivo real n - dimensional (el grupo lineal general de grado n + 1 , cociente por matrices escalares ). El grupo afín será el subgrupo que respeta (mapea sobre sí mismo, no fija puntualmente) el hiperplano elegido en el infinito . Este subgrupo tiene una estructura conocida ( producto semidirecto del grupo lineal general de grado n con el subgrupo de traslaciones ). Esta descripción nos dice entonces qué propiedades son "afines". En términos de geometría plana euclidiana, ser un paralelogramo es afín ya que las transformaciones afines siempre transforman un paralelogramo en otro. Ser un círculo no es afín ya que una cizalladura afín transforma un círculo en una elipse.

Para explicar con precisión la relación entre la geometría afín y la euclidiana, necesitamos definir el grupo de la geometría euclidiana dentro del grupo afín. El grupo euclidiano es, de hecho (siguiendo la descripción previa del grupo afín), el producto semidirecto del grupo ortogonal (rotación y reflexión) con las traslaciones. (Véase la geometría de Klein para más detalles).

Los efectos a largo plazo del programa de Erlangen se pueden observar en todas las matemáticas puras (véase, por ejemplo, el uso tácito de la congruencia en geometría ); y la idea de las transformaciones y de la síntesis mediante grupos de simetría se ha convertido en un concepto estándar en física .

Cuando la topología se describe habitualmente en términos de propiedades invariantes bajo homeomorfismo , se puede apreciar la idea subyacente en acción. Los grupos involucrados serán de dimensión infinita en casi todos los casos —y no grupos de Lie— , pero la filosofía es la misma. Por supuesto, esto se debe principalmente a la influencia pedagógica de Klein. Libros como los de HSM Coxeter utilizaban habitualmente el enfoque del programa de Erlangen para ayudar a «ubicar» geometrías. En términos pedagógicos, el programa se convirtió en geometría de transformaciones , una bendición a medias, ya que se basa en intuiciones más sólidas que el estilo de Euclides , pero resulta más difícil de convertir en un sistema lógico .

En su libro Estructuralismo (1970), Jean Piaget afirma: "A ojos de los matemáticos estructuralistas contemporáneos, como Bourbaki , el programa de Erlangen representa solo una victoria parcial para el estructuralismo, ya que pretenden subordinar todas las matemáticas, no solo la geometría, a la idea de estructura ".

En una geometría y su grupo, un elemento del grupo se denomina a veces movimiento de la geometría. Por ejemplo, se puede estudiar el modelo del semiplano de Poincaré de la geometría hiperbólica mediante un desarrollo basado en movimientos hiperbólicos . Dicho desarrollo permite demostrar metódicamente el teorema de los ultraparalelos mediante movimientos sucesivos.

Con bastante frecuencia, parece que existen dos o más geometrías distintas con grupos de automorfismos isomorfos . Surge entonces la cuestión de cómo interpretar el programa de Erlangen, desde el grupo abstracto hasta la geometría.

Un ejemplo: la geometría elíptica orientada (es decir, sin incluir reflexiones ) , la superficie de una n- esfera con puntos opuestos identificados y la geometría esférica orientada (la misma geometría no euclidiana , pero sin identificar puntos opuestos) tienen un grupo de automorfismos isomorfos SO ( n +1) para n par . Estas geometrías pueden parecer distintas. Sin embargo, resulta que están estrechamente relacionadas, de una manera que se puede precisar.

Por poner otro ejemplo, las geometrías elípticas con diferentes radios de curvatura tienen grupos de automorfismos isomorfos. Esto no constituye una crítica, ya que todas estas geometrías son isomorfas. La geometría riemanniana general queda fuera del alcance de este programa.

Los números complejos , duales y dobles (también conocidos como complejos divididos) aparecen como espacios homogéneos SL(2, R )/H para el grupo SL(2, R ) y sus subgrupos H=A, N, K. ^{[ 1 ]} El grupo SL(2, R ) actúa sobre estos espacios homogéneos mediante transformaciones fraccionarias lineales y una gran parte de las geometrías respectivas se pueden obtener de manera uniforme a partir del programa de Erlangen.

En física han surgido otros ejemplos notables.

En primer lugar, la geometría hiperbólica n- dimensional , el espacio de De Sitter n- dimensional y la geometría inversiva ( n -1)-dimensional tienen grupos de automorfismos isomorfos,

${\displaystyle \mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }$

el grupo de Lorentz ortócrono , para n ≥ 3. Pero estas son geometrías aparentemente distintas. Aquí entran en juego algunos resultados interesantes de la física. Se ha demostrado que los modelos físicos en cada una de las tres geometrías son "duales" para algunos modelos.

Nuevamente, el espacio anti-de Sitter n -dimensional y el espacio conforme ( n -1)-dimensional con signatura "lorentziana" (a diferencia del espacio conforme con signatura "euclidiana", que es idéntico a la geometría inversiva para tres dimensiones o más) tienen grupos de automorfismos isomorfos, pero son geometrías distintas. De nuevo, existen modelos en física con "dualidades" entre ambos espacios . Véase AdS/CFT para más detalles.

El grupo de recubrimiento de SU(2,2) es isomorfo al grupo de recubrimiento de SO(4,2), que es el grupo de simetría de un espacio de Minkowski conforme de 4D y un espacio anti-de Sitter de 5D y un espacio twistor complejo de cuatro dimensiones .

Por lo tanto, el programa de Erlangen aún puede considerarse fértil en relación con las dualidades en física.

En el artículo fundamental que introdujo las categorías , Saunders Mac Lane y Samuel Eilenberg afirmaron: "Esto puede considerarse una continuación del Programa de Klein-Erlanger, en el sentido de que un espacio geométrico con su grupo de transformaciones se generaliza a una categoría con su álgebra de aplicaciones". ^{[ 2 ]}

Las relaciones del programa de Erlangen con el trabajo de Charles Ehresmann sobre grupoides en geometría se consideran en el artículo que sigue a continuación, escrito por Pradines. ^{[ 3 ]}

En lógica matemática , el programa de Erlangen también sirvió de inspiración a Alfred Tarski en su análisis de las nociones lógicas . ^{[ 4 ]}

• Klein, Felix (1872) "Una revisión comparativa de investigaciones recientes en geometría". La traducción completa al inglés se encuentra aquí: https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
• Sharpe, Richard W. (1997) Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein. Vol. 166. Springer.
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría diferencial , Dover, Nueva York, ISBN 0-486-63433-7.

Abarca la obra de Lie, Klein y Cartan. En la página 139, Guggenheimer resume el campo señalando: «Una geometría de Klein es la teoría de los invariantes geométricos de un grupo de transformaciones transitivas (Programa de Erlangen, 1872)».

• Thomas Hawkins (1984) "El programa Erlanger de Felix Klein: reflexiones sobre su lugar en la historia de las matemáticas", Historia Mathematica 11:442–70.
• "Programa de Erlangen" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lizhen Ji y Athanase Papadopoulos (editores) (2015) Sophus Lie y Felix Klein: El programa de Erlangen y su impacto en las matemáticas y la física , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zúrich.
• Felix Klein (1872) "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ('Una revisión comparativa de investigaciones recientes en geometría'), Mathematische Annalen, 43 (1893) págs. 63–100 (también: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, págs. 460–497).

Una traducción al inglés realizada por Mellen Haskell apareció en Bull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.

El texto original en alemán del programa de Erlangen se puede consultar en la colección en línea de la Universidad de Michigan en [1] y también en [2] en formato HTML.

Una página de información central sobre el programa de Erlangen mantenida por John Baez se encuentra en [3] .

• Felix Klein (2004) Matemáticas elementales desde una perspectiva avanzada: Geometría , Dover, Nueva York, ISBN 0-486-43481-8

(traducción de Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , Teil II: Geometrie, pub. 1924 de Springer). Tiene una sección sobre el programa de Erlangen.