Ángulo de Ernst

En la espectroscopia de resonancia magnética nuclear y la imagen por resonancia magnética , el ángulo de Ernst es el ángulo de giro que maximiza la señal de estado estacionario para un espín con un tiempo de relajación espín-red.${\displaystyle T_{1}}$utilizando un tiempo de repetición de volteo${\displaystyle T_{R}}$, suponiendo que la magnetización transversal se elimina entre inversiones. El ángulo de Ernst${\displaystyle \theta }$se calcula utilizando la siguiente relación, derivada por Richard R. Ernst , quien ganó el Premio Nobel de Química de 1991 : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \theta =\arccos(e^{-T_{R}/T_{1}})}$$

La derivación de la ecuación del ángulo de Ernst asume explícitamente que toda la magnetización transversal se elimina por completo entre los tiempos de repetición. Esta eliminación se logra en la práctica mediante gradientes de supresión (en resonancia magnética) o utilizando un tiempo suficientemente largo.${\displaystyle T_{R}}$para completar${\displaystyle T_{2}}$decaimiento (en RMN).

Dejar${\displaystyle M_{z}^{-}}$Denotemos la magnetización longitudinal justo antes de un pulso de RF. Supongamos que el pulso rota la magnetización un ángulo${\displaystyle \theta }$alrededor del eje transversal instantáneamente. La magnetización longitudinal después del pulso será:

$${\displaystyle M_{z}^{+}=M_{z}^{-}\cos(\theta)}$$

Después de relajarse un rato${\displaystyle T_{R}}$hacia el equilibrio${\displaystyle M_{0}}$con${\displaystyle T_{1}}$La recuperación del componente longitudinal de la magnetización será:

$${\displaystyle M_{z}^{-(next)}=M_{0}-(M_{0}-M_{z}^{+})e^{-T_{R}/T_{1}}=M_{0}-(M_{0}-M_{z}^{-}\cos(\theta ))e^{-T_{R}/T_{1}}}$$

Supongamos que la magnetización transversal ahora se vuelve cero debido al desprendimiento. En estado estacionario${\displaystyle M_{z}^{-(next)}=M_{z}^{-}}$Sustituyendo${\displaystyle M_{z}^{-}}$para${\displaystyle M_{z}^{-(next)}}$y resolver para${\displaystyle M_{z}^{-}}$da:

$${\displaystyle M_{z}^{-}={\frac {M_{0}(1-e^{-T_{R}/T_{1}})}{1-e^{-T_{R}/T_{1}}\cos(\theta )}}}$$

La magnetización transversal (intensidad de la señal) inmediatamente después del pulso en estado estacionario es entonces:

$${\displaystyle M_{x}^{+}=M_{z}^{-}\sin(\theta )={\frac {M_{0}(1-e^{-T_{R}/T_{1}})\sin(\theta )}{1-e^{-T_{R}/T_{1}}\cos(\theta )}}}$$

Para encontrar el${\displaystyle \theta }$que maximiza${\displaystyle M_{x}^{+}}$resolver para${\displaystyle {\frac {dM_{x}^{+}}{d\theta }}=0}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=e^{-T_{R}/T_{1}}\\A&=M_{0}(1-E)\\M_{x}^{+}&={\frac {A\sin(\theta )}{1-E\cos(\theta )}}\end{aligned}}}$$

Usando la regla del cociente con${\displaystyle u=\sin(\theta )}$y${\displaystyle v=1-E\cos(\theta )}$Se puede demostrar que:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}^{+}}{d\theta }}=A{\frac {\cos(\theta )-E}{(1-E\cos(\theta ))^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{x}^{+}}{d\theta }}=0}$cuando${\displaystyle \theta =\arccos(e^{-T_{R}/T_{1}})}$