Análisis de errores (matemáticas)

El análisis de errores hacia adelante implica el análisis de una función${\displaystyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$que es una aproximación (generalmente un polinomio finito) a una función${\displaystyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$determinar los límites del error en la aproximación; es decir, encontrar${\displaystyle \epsilon }$de tal manera que${\displaystyle 0\,\leq \,|zz'|\,\leq \,\epsilon .}$ La evaluación de errores directos es deseable en métodos numéricos validados . ^{[ 2 ]}

El análisis de errores hacia atrás implica el análisis de la función de aproximación.${\displaystyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),}$para determinar los límites de los parámetros${\displaystyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$de tal manera que el resultado${\displaystyle z'\,=\,z.}$^{[ 3 ]}

El análisis de errores hacia atrás, cuya teoría fue desarrollada y popularizada por James H. Wilkinson , puede utilizarse para establecer que un algoritmo que implementa una función numérica es numéricamente estable . ^{[ 4 ]} El enfoque básico consiste en demostrar que, si bien el resultado calculado, debido a errores de redondeo, no será exactamente correcto, es la solución exacta a un problema cercano con datos de entrada ligeramente perturbados. Si la perturbación requerida es pequeña, del orden de la incertidumbre en los datos de entrada, entonces los resultados son, en cierto sentido, tan precisos como los datos "merecen". El algoritmo se define entonces como estable hacia atrás . La estabilidad es una medida de la sensibilidad a los errores de redondeo de un procedimiento numérico dado; por el contrario, el número de condición de una función para un problema dado indica la sensibilidad inherente de la función a pequeñas perturbaciones en su entrada y es independiente de la implementación utilizada para resolver el problema. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

El análisis de los errores calculados mediante el sistema de posicionamiento global es fundamental para comprender su funcionamiento y conocer la magnitud de los errores esperados. El sistema de posicionamiento global corrige los errores del reloj del receptor y otros efectos, pero aún existen errores residuales que no se corrigen. El sistema de posicionamiento global (GPS) fue creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos (DOD) en la década de 1970. Su uso para la navegación se ha extendido tanto entre las fuerzas armadas estadounidenses como entre el público en general.

En las simulaciones de dinámica molecular (DM), se producen errores debido a un muestreo inadecuado del espacio de fases o a eventos que ocurren con poca frecuencia, lo que da lugar a errores estadísticos debido a fluctuaciones aleatorias en las mediciones.

Para una serie de M mediciones de una propiedad fluctuante A , el valor medio es:

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

Cuando estas M mediciones son independientes, la varianza de la media ⟨ A ⟩ es:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

pero en la mayoría de las simulaciones de MD, existe correlación entre la cantidad A en diferentes momentos, por lo que la varianza de la media ⟨ A ⟩ se subestimará ya que el número efectivo de mediciones independientes es en realidad menor que M. En tales situaciones, reescribimos la varianza como:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

dónde${\displaystyle \phi _{\mu }}$es la función de autocorrelación definida por

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.}$$

Podemos entonces usar la función de autocorrelación para estimar la barra de error . Por suerte, tenemos un método mucho más simple basado en el promedio por bloques . ^{[ 7 ]}

Las mediciones suelen tener un pequeño margen de error, y las mediciones repetidas del mismo elemento generalmente arrojan ligeras diferencias en las lecturas. Estas diferencias pueden analizarse y siguen ciertas propiedades matemáticas y estadísticas conocidas. Si un conjunto de datos parece ajustarse demasiado a la hipótesis, es decir, si no presenta el margen de error habitual en dichas mediciones, se puede concluir que los datos podrían haber sido falsificados. El análisis de errores por sí solo no suele ser suficiente para probar que los datos han sido falsificados o fabricados, pero puede proporcionar la evidencia necesaria para confirmar las sospechas de mala conducta.