Exponentes de error en las pruebas de hipótesis

En las pruebas de hipótesis estadísticas , el exponente de error de un procedimiento de prueba de hipótesis es la tasa a la que las probabilidades de tipo I y tipo II decaen exponencialmente con el tamaño de la muestra utilizada en la prueba. Por ejemplo, si la probabilidad de error de una prueba decae como , donde es el tamaño de la muestra, el exponente de error es . ${\displaystyle P_{\mathrm {error}}}$${\displaystyle e^{-n\beta}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \beta}$

Formalmente, el exponente de error de una prueba se define como el valor límite de la relación entre el logaritmo negativo de la probabilidad de error y el tamaño de la muestra para muestras de gran tamaño: . Los exponentes de error para diferentes pruebas de hipótesis se calculan utilizando el teorema de Sanov y otros resultados de la teoría de grandes desviaciones . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {-\ln P_{\text{error}}}{n}}}$

Consideremos un problema de prueba de hipótesis binaria en el que las observaciones se modelan como variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas bajo cada hipótesis . Sea ...${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}}$$estilo de visualización f_{0}}$${\displaystyle Y_{i}}$$Estilo de visualización H_{0}$$estilo de visualización f_{1}}$${\displaystyle Y_{i}}$$Estilo de visualización H_{1}$

En este caso hay dos posibles eventos de error . El error de tipo 1, también llamado falso positivo , ocurre cuando la hipótesis nula es verdadera y se rechaza erróneamente. El error de tipo 2, también llamado falso negativo, ocurre cuando la hipótesis alternativa es verdadera y la hipótesis nula no se rechaza. La probabilidad de error de tipo 1 se denota y la probabilidad de error de tipo 2 se denota . ${\displaystyle P(\mathrm {error} \mid H_{0})}$${\displaystyle P(\mathrm {error} \mid H_{1})}$

En la versión Neyman–Pearson ^[1] de la prueba de hipótesis binaria, uno está interesado en minimizar la probabilidad de error de tipo 2 sujeto a la restricción de que la probabilidad de error de tipo 1 es menor o igual a un nivel preestablecido . En este contexto, el procedimiento de prueba óptimo es una prueba de razón de verosimilitud . ^[2] Además, la prueba óptima garantiza que la probabilidad de error de tipo 2 decae exponencialmente en el tamaño de la muestra de acuerdo con . ^[3] El exponente de error es la divergencia de Kullback–Leibler entre las distribuciones de probabilidad de las observaciones bajo las dos hipótesis. Este exponente también se conoce como el exponente del lema de Chernoff–Stein. ${\displaystyle P({\text{error}}\mid H_{1})}$${\displaystyle P({\text{error}}\mid H_{0})}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {-\ln P(\mathrm {error} \mid H_{1})}{n}}=D(f_{0}\paralelo f_{1})}$${\displaystyle D(f_{0}\paralelo f_{1})}$

En la versión bayesiana de la prueba de hipótesis binaria, uno está interesado en minimizar la probabilidad de error promedio bajo ambas hipótesis, asumiendo una probabilidad previa de ocurrencia en cada hipótesis. Sea . la probabilidad previa de la hipótesis . En este caso, la probabilidad de error promedio está dada por . En este contexto, nuevamente, una prueba de razón de verosimilitud es óptima y el error óptimo decae como donde representa la información de Chernoff entre las dos distribuciones definidas como . ^[3]$estilo de visualización {\pi _{0}}$$Estilo de visualización H_{0}$${\displaystyle P_{\text{media}}=\pi _{0}P({\text{error}}\mid H_{0})+(1-\pi _{0})P({\text{error}}\mid H_{1})}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {-\ln P_{\text{ave}}}{n}}=C(f_{0},f_{1})}$${\displaystyle C(f_{0},f_{1})}$${\displaystyle C(f_{0},f_{1})=\max _{\lambda \in [0,1]}\left[-\ln \int (f_{0}(x))^{\lambda }(f_{1}(x))^{(1-\lambda )}\,dx\right]}$