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Articulo de referencia

modelo de errores en las variables

Ilustración de la dilución de la regresión (o sesgo de atenuación) mediante un rango de estimaciones de regresión en modelos con errores en las variables. Dos líneas de regresió...

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Ilustración de la dilución de la regresión (o sesgo de atenuación) mediante un rango de estimaciones de regresión en modelos con errores en las variables. Dos líneas de regresión (rojas) delimitan el rango de posibilidades de regresión lineal. La pendiente suave se obtiene cuando la variable independiente (o predictor) se encuentra en el eje x. La pendiente más pronunciada se obtiene cuando la variable independiente se encuentra en el eje y. Por convención, con la variable independiente en el eje x, se obtiene la pendiente suave. Las líneas de referencia verdes representan promedios dentro de intervalos arbitrarios a lo largo de cada eje. Nótese que las estimaciones de regresión más pronunciadas (verdes y rojas) son más consistentes con errores menores en la variable del eje y.

En estadística , un modelo de errores en las variables o modelo de error de medición es un modelo de regresión que considera los errores de medición en las variables independientes . En cambio, los modelos de regresión estándar asumen que dichas variables predictoras se han medido con exactitud, es decir, se han observado sin error; por lo tanto, estos modelos solo consideran los errores en las variables dependientes o de respuesta.

En el caso de que algunos regresores se hayan medido con errores, la estimación basada en el supuesto estándar conduce a estimaciones inconsistentes , lo que significa que las estimaciones de los parámetros no tienden a los valores verdaderos incluso en muestras muy grandes. Para la regresión lineal simple, el efecto es una subestimación del coeficiente, conocida como sesgo de atenuación . En los modelos no lineales, la dirección del sesgo probablemente sea más compleja. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Ejemplo motivador

Consideremos un modelo de regresión lineal simple de la forma

yt=α+βincógnitat∗+εt,t=1,…,T,{\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,}

dóndeincógnitat∗{\displaystyle x_{t}^{*}}denota el regresor verdadero pero no observado . En cambio, observamos este valor con un error:

incógnitat=incógnitat∗+ηt{\displaystyle x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,}

donde el error de mediciónηt{\displaystyle \eta _{t}}se supone que es independiente del valor verdaderoincógnitat∗{\displaystyle x_{t}^{*}}Una aplicación práctica es el experimento científico escolar estándar para la ley de Hooke , en el que se estima la relación entre el peso añadido a un resorte y la cantidad en que se estira el resorte. Si elyt{\displaystyle y_{t}}Los ′s simplemente se regresan en elincógnitat{\displaystyle x_{t}}′s (ver regresión lineal simple ), entonces el estimador para el coeficiente de pendiente es

β^incógnita=1T∑t=1T(incógnitat−incógnita¯)(yt−y¯)1T∑t=1T(incógnitat−incógnita¯)2,{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

que converge a medida que el tamaño de la muestraT{\displaystyle T}aumenta sin límite:

β^incógnita→pagCov⁡[incógnitat,yt]Var⁡[incógnitat]=βσincógnita∗2σincógnita∗2+ση2=β1+ση2/σincógnita∗2.{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.}

Esto contrasta con el efecto "verdadero" deβ{\displaystyle \beta }, estimado utilizando elincógnitat∗{\displaystyle x_{t}^{*}},:

β^=1T∑t=1T(incógnitat∗−incógnita¯)(yt−y¯)1T∑t=1T(incógnitat∗−incógnita¯)2,{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

Las varianzas son no negativas, de modo que en el límite la estimadaβ^incógnita{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}es más pequeño queβ^{\displaystyle {\hat {\beta }}}, un efecto que los estadísticos denominan atenuación o dilución de la regresión . [ 4 ] Por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados 'ingenuo'β^incógnita{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}es un estimador inconsistente para β{\displaystyle \beta }. Sin embargo,β^incógnita{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}es un estimador consistente del parámetro requerido para un mejor predictor lineal dey{\displaystyle y}dada la observaciónincógnitat{\displaystyle x_{t}}En algunas aplicaciones, esto puede ser lo que se requiere, en lugar de una estimación del coeficiente de regresión "verdadero".β{\displaystyle \beta }, aunque eso supondría que la varianza de los errores en la estimación y la predicción es idéntica. Esto se deduce directamente del resultado citado inmediatamente arriba y del hecho de que el coeficiente de regresión que relaciona layt{\displaystyle y_{t}}de a lo realmente observadoincógnitat{\displaystyle x_{t}}En una regresión lineal simple, ′s viene dado por

βincógnita=Cov⁡[incógnitat,yt]Var⁡[incógnitat].{\displaystyle \beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.}

Es este coeficiente, más queβ{\displaystyle \beta }, que sería necesario para construir un predictor dey{\displaystyle y}basado en una observaciónincógnita{\displaystyle x}que está sujeto a ruido.

Se puede argumentar que casi todos los conjuntos de datos existentes contienen errores de distinta naturaleza y magnitud, por lo que el sesgo de atenuación es extremadamente frecuente (aunque en la regresión multivariante la dirección del sesgo es ambigua [ 5 ] ). Jerry Hausman lo considera una ley fundamental de la econometría : «La magnitud de la estimación suele ser menor de lo esperado» [ 6 ].

Especificación

Por lo general, los modelos de error de medición se describen utilizando el enfoque de variables latentes . Siy{\displaystyle y}es la variable de respuesta yincógnita{\displaystyle x}son valores observados de los regresores, entonces se supone que existen algunas variables latentesy∗{\displaystyle y^{*}}yincógnita∗{\displaystyle x^{*}}que siguen la relación funcional "verdadera" del modelogramo(⋅){\displaystyle g(\cdot )}y de tal manera que las cantidades observadas sean sus observaciones ruidosas:

{y∗=gramo(incógnita∗,w|θ),y=y∗+ε,incógnita=incógnita∗+η,{\displaystyle {\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}}

dóndeθ{\displaystyle \theta }es el parámetro del modelo yw{\displaystyle w}son aquellos regresores que se suponen libres de errores (por ejemplo, cuando la regresión lineal contiene un intercepto, el regresor que corresponde a la constante ciertamente no tiene "errores de medición"). Dependiendo de la especificación, estos regresores libres de errores pueden o no ser tratados por separado; en este último caso, simplemente se supone que las entradas correspondientes en la matriz de varianza deη{\displaystyle \eta }Los son cero.

Las variablesy{\displaystyle y},incógnita{\displaystyle x},w{\displaystyle w}se observan todos , lo que significa que el estadístico posee un conjunto de datos denorte{\displaystyle n}unidades estadísticas{yi,incógnitai,wi}i=1,…,norte{\displaystyle \left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}}que siguen el proceso de generación de datos descrito anteriormente; las variables latentesincógnita∗{\displaystyle x^{*}},y∗{\displaystyle y^{*}},ε{\displaystyle \varepsilon }, yη{\displaystyle \eta }Sin embargo, no se observan.

Esta especificación no abarca todos los modelos de errores en variables existentes. Por ejemplo, en algunos de ellos, la funcióngramo(⋅){\displaystyle g(\cdot )}pueden ser no paramétricos o semiparamétricos. Otros enfoques modelan la relación entrey∗{\displaystyle y^{*}}yincógnita∗{\displaystyle x^{*}}como distributivas en lugar de funcionales; es decir, asumen quey∗{\displaystyle y^{*}}condicionalmente enincógnita∗{\displaystyle x^{*}}sigue una determinada distribución (generalmente paramétrica).

Terminología y supuestos

  • La variable observadaincógnita{\displaystyle x}puede denominarse variable manifiesta , indicadora o proxy .
  • La variable no observadaincógnita∗{\displaystyle x^{*}}Puede denominarse variable latente o verdadera . Puede considerarse como una constante desconocida (en cuyo caso el modelo se denomina modelo funcional ) o como una variable aleatoria (en cuyo caso, un modelo estructural ). [ 7 ]
  • La relación entre el error de mediciónη{\displaystyle \eta }y la variable latenteincógnita∗{\displaystyle x^{*}}se puede modelar de diferentes maneras:
    • Errores clásicos :η⊥incógnita∗{\displaystyle \eta \perp x^{*}}Los errores son independientes de la variable latente. Esta es la suposición más común; implica que los errores son introducidos por el dispositivo de medición y su magnitud no depende del valor que se mide.
    • Independencia de la media :mi⁡[η|incógnita∗]=0,{\displaystyle \operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,}Los errores tienen media cero para cada valor del regresor latente. Esta es una suposición menos restrictiva que la clásica, [ 8 ] ya que permite la presencia de heterocedasticidad u otros efectos en los errores de medición.
    • Errores de Berkson :η⊥incógnita,{\displaystyle \eta \,\perp \,x,}Los errores son independientes del regresor observado x . [ 9 ] Esta suposición tiene una aplicabilidad muy limitada. Un ejemplo son los errores de redondeo: por ejemplo, si la edad de una persona* es una variable aleatoria continua , mientras que la edad observada se trunca al entero más pequeño siguiente , entonces el error de truncamiento es aproximadamente independiente de la edad observada . Otra posibilidad es con el experimento de diseño fijo: por ejemplo, si un científico decide realizar una medición en un momento predeterminado.incógnita{\displaystyle x}, digamos enincógnita=10s{\displaystyle x=10s}, entonces la medición real puede ocurrir en algún otro valor deincógnita∗{\displaystyle x^{*}}(por ejemplo, debido a su tiempo de reacción finito) y dicho error de medición será generalmente independiente del valor "observado" del regresor.
    • Errores de clasificación errónea : caso especial utilizado para los regresores ficticios . Siincógnita∗{\displaystyle x^{*}}es un indicador de cierto evento o condición (como que la persona sea hombre/mujer, que se le haya dado/no se le haya dado algún tratamiento médico, etc.), entonces el error de medición en dicho regresor corresponderá a la clasificación incorrecta similar a los errores de tipo I y tipo II en las pruebas estadísticas. En este caso el errorη{\displaystyle \eta }puede tomar solo 3 valores posibles, y su distribución condicionada aincógnita∗{\displaystyle x^{*}}se modela con dos parámetros:α=Pr⁡[η=−1|incógnita∗=1]{\displaystyle \alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]}, yβ=Pr⁡[η=1|incógnita∗=0]{\displaystyle \beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]}. La condición necesaria para la identificación es queα+β<1{\displaystyle \alpha +\beta <1}Es decir, la clasificación errónea no debería ocurrir "con demasiada frecuencia". (Esta idea puede generalizarse a variables discretas con más de dos valores posibles).

Modelo lineal

Primero se estudiaron los modelos lineales con errores en las variables, probablemente porque los modelos lineales se usaban ampliamente y son más fáciles que los no lineales. A diferencia de la regresión estándar de mínimos cuadrados (MCO), extender la regresión con errores en las variables (EiV) del caso simple al multivariable no es sencillo, a menos que se traten todas las variables de la misma manera, es decir, se asuma la misma fiabilidad, lo que lleva a la elegante y conveniente fórmula que se muestra a continuación para el ajuste imparcial de ecuaciones. [ 10 ]

Modelo lineal simple

El modelo lineal simple de errores en las variables ya se presentó en la sección de "motivación":

{yt=α+βincógnitat∗+εt,incógnitat=incógnitat∗+ηt,{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}}

donde todas las variables son escalares . Aquí α y β son los parámetros de interés, mientras que σ ε y σ η —desviaciones estándar de los términos de error— son los parámetros de perturbación . El regresor "verdadero" x* se trata como una variable aleatoria ( modelo estructural ), independiente del error de medición η ( suposición clásica ).

Este modelo se puede identificar en dos casos: (1) o bien el regresor latente x* no tiene una distribución normal , (2) o bien x* tiene una distribución normal, pero ni ε t ni η t son divisibles por una distribución normal. [ 11 ] Es decir, los parámetros α , β se pueden estimar de forma consistente a partir del conjunto de datos.(incógnitat,yt)t=1T{\displaystyle \scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}}sin ninguna información adicional, siempre que el regresor latente no sea gaussiano.

Antes de que se estableciera este resultado de identificabilidad, los estadísticos intentaron aplicar la técnica de máxima verosimilitud asumiendo que todas las variables son normales, y luego concluyeron que el modelo no está identificado. La solución sugerida fue asumir que algunos de los parámetros del modelo son conocidos o pueden estimarse a partir de una fuente externa. Dichos métodos de estimación incluyen [ 12 ].

  • La regresión de Deming supone que se conoce la razón δ = σ² ε / σ² η . Esto podría ser apropiado, por ejemplo, cuando los errores en y y x son causados ​​por mediciones y se conoce la precisión de los dispositivos o procedimientos de medición.
    • El caso en que δ = 1 también se conoce como regresión ortogonal .
    • El caso en que δ = σ² x / σ² y es la relación funcional de la media geométrica (GMFR). Esto trata a ambas variables como si tuvieran la misma fiabilidad , es decir ( σ y / σ ε = σ x / σ η . La pendiente resultante es la media geométrica de la pendiente de mínimos cuadrados ordinarios y la pendiente de mínimos cuadrados inversos, es decir, las dos líneas rojas en el diagrama. [ 13 ] Este método es invariante bajo escalamiento, traslación e intercambio de variables, el único método que depende solo de los primeros y segundos momentos para tener esta propiedad. [ 14 ]
    • MCO en x puede tratarse como δ = 0, y MCO en y puede tratarse como δ = ∞. [ 13 ]
  • Regresión con razón de confiabilidad conocida λ = σ² ∗ / ( σ² η + σ² ∗ ), donde σ² ∗ es la varianza del regresor latente. Este enfoque puede aplicarse, por ejemplo, cuando se dispone de mediciones repetidas de la misma unidad, o cuando la razón de confiabilidad se conoce a partir del estudio independiente. En este caso, la estimación consistente de la pendiente es igual a la estimación de mínimos cuadrados dividida por λ .
  • La regresión con σ² η conocida puede ocurrir cuando se conoce la fuente de los errores en x y se puede calcular su varianza. Esto podría incluir errores de redondeo o errores introducidos por el dispositivo de medición. Cuando se conoce σ² η, podemos calcular el índice de confiabilidad como λ = ( σ² x − σ² η ) / σ² x y reducir el problema al caso anterior.

Los métodos de estimación que no presuponen el conocimiento de algunos de los parámetros del modelo incluyen:

  • Método de los momentos: el estimador GMM basado en los cumulantes conjuntos de tercer orden (o superior) de las variables observables. El coeficiente de pendiente se puede estimar a partir de [ 15 ].
    β^=K^(norte1,norte2+1)K^(norte1+1,norte2),norte1,norte2>0,{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,}

    donde ( n 1 , n 2 ) son tales que K ( n 1 +1, n 2 ) — el cumulante conjunto de ( x , y ) — no es cero. En el caso de que el tercer momento central del regresor latente x* sea distinto de cero, la fórmula se reduce a

    β^=1T∑t=1T(incógnitat−incógnita¯)(yt−y¯)21T∑t=1T(incógnitat−incógnita¯)2(yt−y¯) .{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .}
  • Variables instrumentales : una regresión que requiere que ciertas variables de datos adicionales z , llamadas instrumentos , estén disponibles. Estas variables deben ser incorrelacionadas con los errores en la ecuación para la variable dependiente (resultado) ( válidas ), y también deben estar correlacionadas ( relevantes ) con los regresores verdaderos x* . Si se pueden encontrar tales variables, entonces el estimador toma la forma
    β^=1T∑t=1T(zt−z¯)(yt−y¯)1T∑t=1T(zt−z¯)(incógnitat−incógnita¯) .{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(x_{t}-{\bar {x}})}}\ .}

Modelo lineal multivariable

El modelo multivariable se ve exactamente igual que el modelo lineal simple, solo que esta vez β , η t , x t y x* t son vectores k× 1.

{yt=α+β′incógnitat∗+εt,incógnitat=incógnitat∗+ηt.{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}}

En el caso de que ( ε t , η t ) sea conjuntamente normal, el parámetro β no se identifica si y solo si existe una  matriz de bloques k×k no singular [ a A ], donde a es un vector k× 1 tal que a′x*  se distribuye normalmente e independientemente de  A′x* . En el caso de que ε t , η t1 ,..., η tk sean mutuamente independientes, el parámetro  β  no se identifica si y solo si, además de las condiciones anteriores, algunos de los errores pueden escribirse como la suma de dos variables independientes, una de las cuales es normal. [ 16 ]

Algunos de los métodos de estimación para modelos lineales multivariables son:

  • El método de mínimos cuadrados totales es una extensión de la regresión de Deming al contexto multivariable. Cuando todos los k + 1 componentes del vector ( ε , η ) tienen varianzas iguales y son independientes, esto equivale a ejecutar la regresión ortogonal de y sobre el vector x , es decir, la regresión que minimiza la suma de las distancias al cuadrado entre los puntos ( y t , x t ) y el hiperplano k- dimensional de "mejor ajuste".
  • El ajuste de ecuaciones imparcial es la generalización de la relación funcional de la media geométrica a múltiples variables. Trata todas las variables de la misma manera, asumiendo una fiabilidad igual, y no requiere ninguna distinción entre variables explicativas y de respuesta, por lo que la ecuación resultante puede reordenarse como cualquier ecuación matemática. Es, con mucho, el modelo de error de medición más simple. Solo requiere que se calculen las covarianzas, por lo que puede estimarse utilizando funciones básicas de hoja de cálculo. Dada una matriz de covarianza M y su inversa M −1 , la regresión esMETRO11−1incógnita1+METRO22−1incógnita2+...=constante.{\displaystyle M_{11}^{-1}x_{1}+M_{22}^{-1}x_{2}+...={\text{constant}}.}[ 17 ]
  • El estimador del método de momentos [ 18 ] se puede construir basándose en las condiciones de momento E[ z t ·( y t − α − β'x t )] = 0, donde el vector de instrumentos z t de dimensión (5 k +3) se define como
    zt=(1 zt1′ zt2′ zt3′ zt4′ zt5′ zt6′ zt7′)′,dóndezt1=incógnitat∘incógnitatzt2=incógnitatytzt3=yt2zt4=incógnitat∘incógnitat∘incógnitat−3(mi⁡[incógnitatincógnitat′]∘Ik)incógnitatzt5=incógnitat∘incógnitatyt−2(mi⁡[ytincógnitat′]∘Ik)incógnitat−yt(mi⁡[incógnitatincógnitat′]∘Ik)yokzt6=incógnitatyt2−mi⁡[yt2]incógnitat−2ytmi⁡[incógnitatyt]zt7=yt3−3ytmi⁡[yt2]{\displaystyle {\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{where}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}}

    dónde∘{\displaystyle \circ }designa el producto de Hadamard de matrices, y las variables x t , y t han sido preliminarmente desprovistas de media. Los autores del método sugieren utilizar el estimador IV modificado de Fuller. [ 19 ]

    Este método puede extenderse para utilizar momentos de orden superior al tercero, si es necesario, y para incorporar variables medidas sin error. [ 20 ]
  • El método de variables instrumentales requiere que encontremos variables de datos adicionales z t que sirvan como instrumentos para los regresores mal medidos x t . Este método es el más sencillo desde el punto de vista de la implementación; sin embargo, su desventaja es que requiere recopilar datos adicionales, lo que puede ser costoso o incluso imposible. Cuando se pueden encontrar los instrumentos, el estimador toma la forma estándar.
    β^=(incógnita′Z(Z′Z)−1Z′incógnita)−1incógnita′Z(Z′Z)−1Z′y.{\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.}

Modelos no lineales

Un modelo genérico de error de medición no lineal toma forma

{yt=gramo(incógnitat∗)+εt,incógnitat=incógnitat∗+ηt.{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}}

Aquí la función g puede ser paramétrica o no paramétrica. Cuando la función g es paramétrica, se escribirá como g ( x *, β ).

Para un regresor vectorial general x*, no se conocen las condiciones para la identificabilidad del modelo. Sin embargo, en el caso de un escalar x*, el modelo se identifica a menos que la función g sea de la forma "log-exponencial" [ 21 ].

gramo(incógnita∗)=a+bln⁡(midoincógnita∗+d){\displaystyle g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}}

y el regresor latente x* tiene densidad

Fincógnita∗(incógnita)={Ami−Bmidoincógnita+doDincógnita(midoincógnita+mi)−F,si d>0Ami−Bincógnita2+doincógnitasi d=0{\displaystyle f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}}

donde las constantes A , B , C , D , E , F pueden depender de a , b , c , d .

A pesar de este resultado optimista, hasta el momento no existen métodos para estimar modelos no lineales con errores en las variables sin información adicional. Sin embargo, existen diversas técnicas que utilizan datos adicionales: ya sean variables instrumentales u observaciones repetidas.

Métodos de variables instrumentales

  • El método de momentos simulados de Newey [ 22 ] para modelos paramétricos requiere que exista un conjunto adicional de variables predictoras observadas z t , de modo que el regresor verdadero pueda expresarse como
    incógnitat∗=π0′zt+σ0ζt,{\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},}

    donde π 0 y σ 0 son matrices constantes (desconocidas) y ζ t ⊥ z t . El coeficiente π 0 puede estimarse utilizando la regresión estándar de mínimos cuadrados de x sobre z . La distribución de ζ t es desconocida; sin embargo, podemos modelarla como perteneciente a una familia paramétrica flexible: la serie de Edgeworth :

    Fζ(v;γ)=ϕ(v)∑j=1Jγjvj{\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}}

    donde ϕ es la distribución normal estándar .

    Los momentos simulados se pueden calcular utilizando el algoritmo de muestreo de importancia : primero generamos varias variables aleatorias { v ts ~ ϕ , s = 1,…, S , t = 1,…, T } a partir de la distribución normal estándar, luego calculamos los momentos en la observación t como

    metrot(θ)=A(zt)1S∑s=1SH(incógnitat,yt,zt,vts;θ)∑j=1Jγjvtsj,{\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},}

    donde θ = ( β , σ , γ ), A es simplemente una función de las variables instrumentales z , y H es un vector de momentos de dos componentes.

    H1(incógnitat,yt,zt,vts;θ)=yt−gramo(π^′zt+σvts,β),H2(incógnitat,yt,zt,vts;θ)=ztyt−(π^′zt+σvts)gramo(π^′zt+σvts,β){\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}}
    Con las funciones de momento m t se puede aplicar la técnica GMM estándar para estimar el parámetro desconocido θ .

Observaciones repetidas

En este enfoque, se dispone de dos (o quizás más) observaciones repetidas del regresor x* . Ambas observaciones contienen sus propios errores de medición; sin embargo, se requiere que esos errores sean independientes:

{incógnita1t=incógnitat∗+η1t,incógnita2t=incógnitat∗+η2t,{\displaystyle {\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}

donde x* ⊥ η 1 ⊥ η 2 . Las variables η 1 , η 2 no tienen por qué tener la misma distribución (aunque si la tienen, la eficiencia del estimador puede mejorar ligeramente). Con solo estas dos observaciones es posible estimar de forma consistente la función de densidad de x* utilizando la técnica de deconvolución de Kotlarski . [ 23 ]

  • Método de densidad condicional de Li para modelos paramétricos. [ 24 ] La ecuación de regresión se puede escribir en términos de las variables observables como
    mi⁡[yt|incógnitat]=∫gramo(incógnitat∗,β)Fincógnita∗|incógnita(incógnitat∗|incógnitat)dincógnitat∗,{\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},}

    donde sería posible calcular la integral si conociéramos la función de densidad condicional ƒ x*|x . Si esta función pudiera conocerse o estimarse, entonces el problema se convierte en una regresión no lineal estándar, que puede estimarse, por ejemplo, utilizando el método NLLS . Suponiendo por simplicidad que η 1 , η 2 tienen la misma distribución, esta densidad condicional puede calcularse como

    F^incógnita∗|incógnita(incógnita∗|incógnita)=F^incógnita∗(incógnita∗)F^incógnita(incógnita)∏j=1kF^ηj(incógnitaj−incógnitaj∗),{\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},}

    donde, con un ligero abuso de notación, x j denota el j -ésimo componente de un vector. Todas las densidades en esta fórmula pueden estimarse utilizando la inversión de las funciones características empíricas . En particular,

    φ^ηj(v)=φ^incógnitaj(v,0)φ^incógnitaj∗(v),dónde φ^incógnitaj(v1,v2)=1T∑t=1Tmiiv1incógnita1tj+iv2incógnita2tj,φ^incógnitaj∗(v)=exp⁡∫0v∂φ^incógnitaj(0,v2)/∂v1φ^incógnitaj(0,v2)dv2,φ^incógnita(tú)=12T∑t=1T(miitú′incógnita1t+miitú′incógnita2t),φ^incógnita∗(tú)=φ^incógnita(tú)∏j=1kφ^ηj(túj).{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}}

    Para invertir estas funciones características, es necesario aplicar la transformada inversa de Fourier, con un parámetro de ajuste C necesario para garantizar la estabilidad numérica. Por ejemplo:

    F^incógnita(incógnita)=1(2π)k∫−dodo⋯∫−dodomi−itú′incógnitaφ^incógnita(tú)dtú.{\displaystyle {\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.}
  • Estimador de Schennach para un modelo paramétrico lineal en parámetros y no lineal en variables. [ 25 ] Este es un modelo de la forma
    {yt=∑j=1kβjgramoj(incógnitat∗)+∑j=1ℓβk+jwjt+εt,incógnita1t=incógnitat∗+η1t,incógnita2t=incógnitat∗+η2t,{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}

    donde w t representa variables medidas sin errores. El regresor x* aquí es escalar (el método también puede extenderse al caso del vector x* ). Si no fuera por los errores de medición, este habría sido un modelo lineal estándar con el estimador

    β^=(mi^[ξtξt′])−1mi^[ξtyt],{\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}

    dónde

    ξt′=(gramo1(incógnitat∗),⋯,gramok(incógnitat∗),w1,t,⋯,wl,t).{\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).}

    Resulta que todos los valores esperados en esta fórmula son estimables utilizando el mismo truco de deconvolución. En particular, para un observable genérico w t (que podría ser 1, w 1 t , …, w ℓ  t , o y t ) y alguna función h (que podría representar cualquier g j o g i g j ) tenemos

    mi⁡[wth(incógnitat∗)]=12π∫−∞∞φh(−tú)ψw(tú)dtú,{\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}

    donde φ h es la transformada de Fourier de h ( x* ), pero utilizando la misma convención que para las funciones características ,

    φh(tú)=∫miitúincógnitah(incógnita)dincógnita{\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx},

    y

    ψw(tú)=mi⁡[wtmiitúincógnita∗]=mi⁡[wtmiitúincógnita1t]mi⁡[miitúincógnita1t]exp⁡∫0túimi⁡[incógnita2tmiivincógnita1t]mi⁡[miivincógnita1t]dv{\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}
    El estimador resultanteβ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}}es consistente y asintóticamente normal.
  • Estimador de Schennach para un modelo no paramétrico. [ 26 ] El estimador estándar de Nadaraya-Watson para un modelo no paramétrico toma la forma
    gramo^(incógnita)=mi^[ytKh(incógnitat∗−incógnita)]mi^[Kh(incógnitat∗−incógnita)],{\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}
    para una elección adecuada del núcleo K y el ancho de banda h . Ambas expectativas aquí pueden estimarse utilizando la misma técnica que en el método anterior.

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Schennach, Susanne (2013). «Error de medición en modelos no lineales: una revisión». En Acemoglu, Daron; Arellano, Manuel; Dekel, Eddie (eds.). Avances en economía y econometría . Cambridge University Press. pp. 296–337 . doi : 10.1017/CBO9781139060035.009 . hdl : 10419/79526 . ISBN  9781107017214.
  • Una visión histórica general de la regresión lineal con errores en ambas variables , JW Gillard 2006
  • Conferencia sobre econometría (tema: regresores estocásticos y error de medición) en YouTube por Mark Thoma .