tipo de homotopía étale

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica , el tipo de homotopía étale es un análogo del tipo de homotopía de espacios topológicos para variedades algebraicas .

En términos generales, para una variedad o esquema X , la idea es considerar recubrimientos étale.${\displaystyle U\rightarrow X}$y reemplazar cada componente conectado de U y las "intersecciones" superiores, es decir, productos de fibra ,${\displaystyle U_{n}:=U\times _{X}U\times _{X}\dots \times _{X}U}$( n +1 copias de U ,${\displaystyle n\geq 0}$) por un solo punto. Esto da un conjunto simplicial que captura cierta información relacionada con X y su topología étale .

Un poco más precisamente, en general es necesario trabajar con hiperportadas étale${\displaystyle (U_{n})_{n\geq 0}}$en lugar del esquema simplicial anterior determinado por una cubierta étale usual. Tomando hipercubiertas cada vez más finas (lo cual se logra técnicamente trabajando con el pro-objeto en conjuntos simpliciales determinados al tomar todas las hipercubiertas), el objeto resultante es el tipo de homotopía étale de X. De manera similar a la topología clásica, es capaz de recuperar gran parte de los datos usuales relacionados con la topología étale, en particular el grupo fundamental étale del esquema y la cohomología étale de haces étale localmente constantes .

Para${\displaystyle Spec(k)}$, tomando moralmente${\displaystyle Spec({\bar {k}})}$El complejo simplicial sería el que calcula${\displaystyle BGal(k)}$.

El sitio pro-étale proporciona un refinamiento y genera un objeto homotópico en conjuntos profinitos simpliciales. Este tiene un functor de olvido a la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales profinitos.

• Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969). Homotopía étale . Springer.
• Friedlander, Eric (1982). Homotopía étale de esquemas simpliciales . Anales de Estudios Matemáticos, PUP.
• Scholze , sitio pro-etale. https://www.youtube.com/watch?v=qL5uxXAeU00&ab_channel=HausdorffCenterforMathematics

• http://ncatlab.org/nlab/show/étale+homotopy