Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría , Elementos . El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides ya se habían enunciado antes, ^[1] Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se demuestra a partir de axiomas y teoremas demostrados previamente. ^[2]

Los Elementos comienzan con la geometría plana , que todavía se enseña en la escuela secundaria (preparatoria) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas . Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncia resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. ^[1]

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que los teoremas demostrados a partir de ellos se consideraban absolutamente ciertos, y por lo tanto no eran posibles otros tipos de geometría. Sin embargo, hoy en día se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes , las primeras de las cuales se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio ). ^[3]

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede de manera lógica a partir de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, hasta llegar a proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , introducida casi 2000 años después por René Descartes , que utiliza coordenadas para expresar propiedades geométricas mediante fórmulas algebraicas .

Los Elementos son principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Su mejora con respecto a los tratamientos anteriores se reconoció rápidamente, con el resultado de que hubo poco interés en preservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.

Hay 13 libros en los Elementos :

Los libros I, IV y VI tratan de la geometría plana. Se demuestran muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos" (Libro I, proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto" (Libro I, proposición 47).

Los libros V y VII a X tratan la teoría de números , tratándolos geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones superficiales. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Se demuestra que hay infinitos números primos.

Los libros XI a XIII tratan de geometría de cuerpos sólidos . Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .

La geometría euclidiana es un sistema axiomático en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta la llegada de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente ciertos en el mundo físico, de modo que todos los teoremas serían igualmente ciertos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides a partir de supuestos hasta llegar a conclusiones sigue siendo válido independientemente de la realidad física. ^[4]

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, enunciados en términos de construcciones (según la traducción de Thomas Heath): ^[5]

Sea postulado lo siguiente:

1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Producir (extender) una línea recta finita de forma continua en una línea recta.
3. Para describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. [ Postulado de las paralelas ]: Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos son menores que dos rectos.

Aunque Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento también supone implícitamente que son únicos.

Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí ( propiedad transitiva de una relación euclidiana ).
2. Si se suman números iguales a números iguales, entonces los totales son iguales (Propiedad de la igualdad: adición).
3. Si se restan iguales de iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de la igualdad de la resta).
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
5. El todo es mayor que la parte.

Los estudiosos modernos coinciden en que los postulados de Euclides no proporcionan la base lógica completa que Euclides necesitaba para su presentación. ^[6] Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más amplios y completos.

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y, para ellos, parecía como si el postulado de las líneas paralelas requiriera una prueba a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal prueba es imposible, ya que se pueden construir sistemas geométricos consistentes (que obedezcan a los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas sea verdadero y otros en los que sea falso. ^[7] El propio Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son las que se pueden demostrar sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que sean lógicamente equivalentes al postulado de las paralelas (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair establece:

En un plano , a través de un punto que no está en una recta dada, se puede trazar como máximo una recta que nunca corta a la recta dada.

La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

La geometría euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con nada más que un compás y una regla sin marcar . ^[8] En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos como la teoría de conjuntos , que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no se pueden construir dentro de la teoría. ^[9] Estrictamente hablando, las líneas en el papel son modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, en lugar de instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea real dibujada lo tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que las pruebas no constructivas son tan sólidas como las constructivas, a menudo se las considera menos elegantes , intuitivas o prácticamente útiles. Las pruebas constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las falaces pruebas no constructivas, por ejemplo, algunas pruebas pitagóricas que asumían que todos los números eran racionales y que generalmente requerían una declaración como "Encuentra la máxima medida común de ..." ^[10]

Euclides utilizó a menudo la prueba por contradicción . ^{[ cita requerida ]}

Los puntos se nombran habitualmente con letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando una cantidad suficiente de puntos para distinguirlos sin ambigüedades de la figura en cuestión; por ejemplo, el triángulo ABC sería típicamente un triángulo con vértices en los puntos A, B y C.

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se denominan complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Los ángulos cuya suma es un ángulo llano son suplementarios . Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo llano (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

En la terminología moderna, los ángulos normalmente se medirían en grados o radianes .

Los libros de texto escolares modernos suelen definir figuras separadas llamadas líneas (infinitas), rayos (semi-infinitos) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente utilizaba expresiones como "si la línea se extiende hasta una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refería a "líneas infinitas". Para Euclides, una "línea" podía ser recta o curva, y utilizaba el término más específico "línea recta" cuando era necesario.

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  El teorema del puente de asnos o pons asinorum establece que en un triángulo isósceles, α = β y γ = δ.
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  El teorema de la suma de los ángulos del triángulo establece que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo, en este caso los ángulos α, β y γ, siempre será igual a 180 grados.
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  El teorema de Pitágoras establece que la suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos ( a y b ) de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa ( c ).
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  El teorema de Tales establece que si AC es un diámetro, entonces el ángulo en B es un ángulo recto.

El pons asinorum ( puente de asnos ) establece que en los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se extienden más líneas rectas iguales, entonces los ángulos bajo la base son iguales entre sí . ^[11] Su nombre puede atribuirse a su frecuente papel como la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como un puente hacia las proposiciones más difíciles que siguieron. También podría llamarse así debido a la semejanza de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro de paso seguro podría cruzar. ^[12]

Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (LLL), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (LAI) o dos ángulos y un lado iguales (ALA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son semejantes, pero no necesariamente congruentes. Asimismo, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales o congruentes.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano (180 grados). ^[13] Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos interiores de 60 grados. Además, hace que todo triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto .

El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los dos catetos (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).

El teorema de Tales , llamado así por Tales de Mileto, establece que si A, B y C son puntos de un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Tales demostró su teorema por medio de Euclides, Libro I, Prop. 32, a la manera de Euclides, Libro III, Prop. 31. ^{[14] [15]}

En la terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, , y el volumen de un sólido al cubo, . Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo ^[16] y el volumen de un sólido paralelepipédico. ^[17] Euclides determinó algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe. ^[18]${\displaystyle A\propto L^{2}}$${\displaystyle V\propto L^{3}}$

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia . La escala de ángulos es absoluta y Euclides utiliza el ángulo recto como unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se consideraría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancias es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad y las demás distancias se expresan en relación con ella. La suma de distancias se representa mediante una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para extender su longitud, y lo mismo ocurre con la resta.

Las medidas de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y un largo de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Como esta interpretación geométrica de la multiplicación estaba limitada a tres dimensiones, no había una manera directa de interpretar el producto de cuatro o más números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la prueba del libro IX, proposición 20.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura entera tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover sobre la otra para que coincida exactamente con ella. (Se permite darla vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen reflejada. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de formas similares son iguales y los lados correspondientes son proporcionales entre sí.

• Análisis de tensión : Análisis de tensión : La geometría euclidiana es fundamental para determinar la distribución de la tensión en los componentes mecánicos, lo que es esencial para garantizar la integridad estructural y la durabilidad .

• Diseño de engranajes : Engranaje : El diseño de engranajes, un elemento crucial en muchos sistemas mecánicos , se basa en gran medida en la geometría euclidiana para garantizar la forma y el enganche adecuados de los dientes para una transmisión de potencia eficiente .

• Diseño de intercambiadores de calor : intercambiadores de calor : en ingeniería térmica , se utiliza la geometría euclidiana para diseñar intercambiadores de calor , donde la configuración geométrica influye en gran medida en la eficiencia térmica . Consulte intercambiadores de calor de carcasa y tubos e intercambiadores de calor de placas para obtener más detalles.

• Diseño de lentes : Lentes : En ingeniería óptica, la geometría euclidiana es fundamental en el diseño de lentes, donde las formas geométricas precisas determinan las propiedades de enfoque . La óptica geométrica analiza el enfoque de la luz mediante lentes y espejos .

• Análisis de vibraciones : La geometría euclidiana es esencial para analizar y comprender las vibraciones en los sistemas mecánicos , ayudando en el diseño de sistemas que puedan soportar o utilizar estas vibraciones de manera efectiva.

• Diseño de alas : Diseño de alas de aeronaves : la aplicación de la geometría euclidiana en la aerodinámica es evidente en el diseño de alas de aeronaves , perfiles aerodinámicos e hidroplanos , donde la forma geométrica impacta directamente en las características de sustentación y resistencia .

• Órbitas de los satélites : Órbitas de los satélites : la geometría euclidiana ayuda a calcular y predecir las órbitas de los satélites , algo esencial para el éxito de las misiones espaciales y las operaciones satelitales . Véase también astrodinámica , mecánica celeste y órbita elíptica .

• Modelado 3D : En los sistemas CAD (diseño asistido por computadora) , la geometría euclidiana es fundamental para crear modelos 3D precisos de piezas mecánicas. Estos modelos son cruciales para visualizar y probar diseños antes de la fabricación .

• Diseño y fabricación : Gran parte de la fabricación asistida por ordenador (CAM) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño en CAD/CAM normalmente consta de formas delimitadas por planos , cilindros , conos , toros y otras formas euclidianas similares. Hoy en día, CAD/CAM es esencial en el diseño de una amplia gama de productos, desde automóviles y aviones hasta barcos y teléfonos inteligentes .

• Evolución de las prácticas de dibujo : históricamente, la geometría euclidiana avanzada, incluidos teoremas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon , era fundamental para las prácticas de dibujo. Sin embargo, con la llegada de los sistemas CAD modernos, un conocimiento tan profundo de estos teoremas es menos necesario en los procesos de diseño y fabricación contemporáneos.

• Diseño de PCB : el diseño de placas de circuito impreso (PCB) utiliza geometría euclidiana para la colocación y el enrutamiento eficientes de los componentes, lo que garantiza la funcionalidad y optimiza el espacio . El diseño eficiente de los componentes electrónicos en las PCB es fundamental para minimizar la interferencia de la señal y optimizar el rendimiento del circuito .

• Diseño de antenas : Diseño de antenas : la geometría euclidiana de las antenas ayuda a diseñar antenas, donde la disposición espacial y las dimensiones afectan directamente el rendimiento de la antena y el conjunto al transmitir y recibir ondas electromagnéticas .

• Teoría de campos : flujo potencial complejo : en el estudio de los campos de flujo no viscoso y los campos electromagnéticos , la geometría euclidiana ayuda a visualizar y resolver problemas de flujo potencial . Esto es esencial para comprender las interacciones entre el campo de velocidad del fluido y el campo electromagnético en el espacio tridimensional. La relación entre ambos se caracteriza por un campo solenoidal irrotacional o un campo vectorial conservativo .

• Análisis de sistemas de control : Sistemas de control : La aplicación de la geometría euclidiana en la teoría de control ayuda en el análisis y diseño de sistemas de control , particularmente en la comprensión y optimización de la estabilidad y respuesta del sistema .

• Herramientas de cálculo : La geometría jacobiana - euclidiana es fundamental en el uso de matrices jacobianas para transformaciones y sistemas de control en los campos de la ingeniería mecánica y eléctrica , y proporciona información sobre el comportamiento y las propiedades del sistema. La jacobiana sirve como matriz de diseño linealizada en regresión estadística y ajuste de curvas ; consulte mínimos cuadrados no lineales . La jacobiana también se utiliza en matrices aleatorias , momentos , estadísticas y diagnósticos .

Debido al estatus fundamental de la geometría euclidiana en las matemáticas, no es práctico dar aquí más que una muestra representativa de aplicaciones.

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  Un topógrafo utiliza un nivel
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  El empaquetamiento de esferas se aplica a una pila de naranjas .
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  Un espejo parabólico atrae rayos de luz paralelos hacia un foco.

Como lo sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés y también uno de los usos actuales más comunes de la geometría es la topografía . ^[19] Además, se ha utilizado en la mecánica clásica y en los enfoques cognitivos y computacionales de la percepción visual de objetos . Ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana (como la propiedad del ángulo recto del triángulo 3-4-5) se utilizaron mucho antes de que se demostraran formalmente. ^[20] Los tipos fundamentales de mediciones en la geometría euclidiana son las distancias y los ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias se medían a menudo mediante cadenas, como la cadena de Gunter , y los ángulos utilizando círculos graduados y, más tarde, el teodolito .

Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de disposiciones de empaquetamiento , como el problema de encontrar el empaquetamiento más eficiente de esferas en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores .

• 
  La geometría se utiliza en el arte y la arquitectura.
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  La torre de agua está formada por un cono, un cilindro y una semiesfera. Su volumen se puede calcular mediante geometría de sólidos.
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  La geometría se puede utilizar para diseñar origami.

La geometría se utiliza ampliamente en arquitectura .

La geometría se puede utilizar para diseñar origami . Algunos problemas de construcción geométricos clásicos son imposibles de resolver utilizando compás y regla , pero se pueden resolver utilizando origami . ^[21]

Archimedes (c. 287 BCE – c. 212 BCE), a colorful figure about whom many historical anecdotes are recorded, is remembered along with Euclid as one of the greatest of ancient mathematicians. Although the foundations of his work were put in place by Euclid, his work, unlike Euclid's, is believed to have been entirely original.^[22] He proved equations for the volumes and areas of various figures in two and three dimensions, and enunciated the Archimedean property of finite numbers.

Apollonius of Perga (c. 240 BCE – c. 190 BCE) is mainly known for his investigation of conic sections.

René Descartes (1596–1650) developed analytic geometry, an alternative method for formalizing geometry which focused on turning geometry into algebra.^[23]

In this approach, a point on a plane is represented by its Cartesian (x, y) coordinates, a line is represented by its equation, and so on.

In Euclid's original approach, the Pythagorean theorem follows from Euclid's axioms. In the Cartesian approach, the axioms are the axioms of algebra, and the equation expressing the Pythagorean theorem is then a definition of one of the terms in Euclid's axioms, which are now considered theorems.

The equation

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

defining the distance between two points P = (p_x, p_y) and Q = (q_x, q_y) is then known as the Euclidean metric, and other metrics define non-Euclidean geometries.

In terms of analytic geometry, the restriction of classical geometry to compass and straightedge constructions means a restriction to first- and second-order equations, e.g., y = 2x + 1 (a line), or x² + y² = 7 (a circle).

Also in the 17th century, Girard Desargues, motivated by the theory of perspective, introduced the concept of idealized points, lines, and planes at infinity. The result can be considered as a type of generalized geometry, projective geometry, but it can also be used to produce proofs in ordinary Euclidean geometry in which the number of special cases is reduced.^[24]

Geometers of the 18th century struggled to define the boundaries of the Euclidean system. Many tried in vain to prove the fifth postulate from the first four. By 1763, at least 28 different proofs had been published, but all were found incorrect.^[25]

Leading up to this period, geometers also tried to determine what constructions could be accomplished in Euclidean geometry. For example, the problem of trisecting an angle with a compass and straightedge is one that naturally occurs within the theory, since the axioms refer to constructive operations that can be carried out with those tools. However, centuries of efforts failed to find a solution to this problem, until Pierre Wantzel published a proof in 1837 that such a construction was impossible. Other constructions that were proved impossible include doubling the cube and squaring the circle. In the case of doubling the cube, the impossibility of the construction originates from the fact that the compass and straightedge method involve equations whose order is an integral power of two,^[26] while doubling a cube requires the solution of a third-order equation.

Euler discussed a generalization of Euclidean geometry called affine geometry, which retains the fifth postulate unmodified while weakening postulates three and four in a way that eliminates the notions of angle (whence right triangles become meaningless) and of equality of length of line segments in general (whence circles become meaningless) while retaining the notions of parallelism as an equivalence relation between lines, and equality of length of parallel line segments (so line segments continue to have a midpoint).

In the early 19th century, Carnot and Möbius systematically developed the use of signed angles and line segments as a way of simplifying and unifying results.^[27]

In the 1840s William Rowan Hamilton developed the quaternions, and John T. Graves and Arthur Cayley the octonions. These are normed algebras which extend the complex numbers. Later it was understood that the quaternions are also a Euclidean geometric system with four real Cartesian coordinates.^[28] Cayley used quaternions to study rotations in 4-dimensional Euclidean space.^[29]

At mid-century Ludwig Schläfli developed the general concept of Euclidean space, extending Euclidean geometry to higher dimensions. He defined polyschemes, later called polytopes, which are the higher-dimensional analogues of polygons and polyhedra. He developed their theory and discovered all the regular polytopes, i.e. the ${\displaystyle n}$-dimensional analogues of regular polygons and Platonic solids. He found there are six regular convex polytopes in dimension four, and three in all higher dimensions.

Schläfli performed this work in relative obscurity and it was published in full only posthumously in 1901. It had little influence until it was rediscovered and fully documented in 1948 by H.S.M. Coxeter.

In 1878 William Kingdon Clifford introduced what is now termed geometric algebra, unifying Hamilton's quaternions with Hermann Grassmann's algebra and revealing the geometric nature of these systems, especially in four dimensions. The operations of geometric algebra have the effect of mirroring, rotating, translating, and mapping the geometric objects that are being modeled to new positions. The Clifford torus on the surface of the 3-sphere is the simplest and most symmetric flat embedding of the Cartesian product of two circles (in the same sense that the surface of a cylinder is "flat").

The century's most influential development in geometry occurred when, around 1830, János Bolyai and Nikolai Ivanovich Lobachevsky separately published work on non-Euclidean geometry, in which the parallel postulate is not valid.^[30] Since non-Euclidean geometry is provably relatively consistent with Euclidean geometry, the parallel postulate cannot be proved from the other postulates.

In the 19th century, it was also realized that Euclid's ten axioms and common notions do not suffice to prove all of the theorems stated in the Elements. For example, Euclid assumed implicitly that any line contains at least two points, but this assumption cannot be proved from the other axioms, and therefore must be an axiom itself. The very first geometric proof in the Elements, shown in the figure above, is that any line segment is part of a triangle; Euclid constructs this in the usual way, by drawing circles around both endpoints and taking their intersection as the third vertex. His axioms, however, do not guarantee that the circles actually intersect, because they do not assert the geometrical property of continuity, which in Cartesian terms is equivalent to the completeness property of the real numbers. Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert,^[31] George Birkhoff,^[32] and Tarski.^[33]

Einstein's theory of special relativity involves a four-dimensional space-time, the Minkowski space, which is non-Euclidean. This shows that non-Euclidean geometries, which had been introduced a few years earlier for showing that the parallel postulate cannot be proved, are also useful for describing the physical world.

However, the three-dimensional "space part" of the Minkowski space remains the space of Euclidean geometry. This is not the case with general relativity, for which the geometry of the space part of space-time is not Euclidean geometry.^[34] For example, if a triangle is constructed out of three rays of light, then in general the interior angles do not add up to 180 degrees due to gravity. A relatively weak gravitational field, such as the Earth's or the Sun's, is represented by a metric that is approximately, but not exactly, Euclidean. Until the 20th century, there was no technology capable of detecting these deviations in rays of light from Euclidean geometry, but Einstein predicted that such deviations would exist. They were later verified by observations such as the slight bending of starlight by the Sun during a solar eclipse in 1919, and such considerations are now an integral part of the software that runs the GPS system.^[35]

Euclid believed that his axioms were self-evident statements about physical reality. Euclid's proofs depend upon assumptions perhaps not obvious in Euclid's fundamental axioms,^[36] in particular that certain movements of figures do not change their geometrical properties such as the lengths of sides and interior angles, the so-called Euclidean motions, which include translations, reflections and rotations of figures.^[37] Taken as a physical description of space, postulate 2 (extending a line) asserts that space does not have holes or boundaries; postulate 4 (equality of right angles) says that space is isotropic and figures may be moved to any location while maintaining congruence; and postulate 5 (the parallel postulate) that space is flat (has no intrinsic curvature).^[38]

As discussed above, Albert Einstein's theory of relativity significantly modifies this view.

The ambiguous character of the axioms as originally formulated by Euclid makes it possible for different commentators to disagree about some of their other implications for the structure of space, such as whether or not it is infinite^[39] (see below) and what its topology is. Modern, more rigorous reformulations of the system^[40] typically aim for a cleaner separation of these issues. Interpreting Euclid's axioms in the spirit of this more modern approach, axioms 1–4 are consistent with either infinite or finite space (as in elliptic geometry), and all five axioms are consistent with a variety of topologies (e.g., a plane, a cylinder, or a torus for two-dimensional Euclidean geometry).

Euclid sometimes distinguished explicitly between "finite lines" (e.g., Postulate 2) and "infinite lines" (book I, proposition 12). However, he typically did not make such distinctions unless they were necessary. The postulates do not explicitly refer to infinite lines, although for example some commentators interpret postulate 3, existence of a circle with any radius, as implying that space is infinite.^[39]

The notion of infinitesimal quantities had previously been discussed extensively by the Eleatic School, but nobody had been able to put them on a firm logical basis, with paradoxes such as Zeno's paradox occurring that had not been resolved to universal satisfaction. Euclid used the method of exhaustion rather than infinitesimals.^[41]

Later ancient commentators, such as Proclus (410–485 CE), treated many questions about infinity as issues demanding proof and, e.g., Proclus claimed to prove the infinite divisibility of a line, based on a proof by contradiction in which he considered the cases of even and odd numbers of points constituting it.^[42]

At the turn of the 20th century, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese, and others produced controversial work on non-Archimedean models of Euclidean geometry, in which the distance between two points may be infinite or infinitesimal, in the Newton–Leibniz sense.^[43] Fifty years later, Abraham Robinson provided a rigorous logical foundation for Veronese's work.^[44]

Ancient geometers may have considered the parallel postulate – that two parallel lines do not ever intersect – less certain than the others because it makes a statement about infinitely remote regions of space, and so cannot be physically verified.^[45]

The modern formulation of proof by induction was not developed until the 17th century, but some later commentators consider it implicit in some of Euclid's proofs, e.g., the proof of the infinitude of primes.^[46]

Supposed paradoxes involving infinite series, such as Zeno's paradox, predated Euclid. Euclid avoided such discussions, giving, for example, the expression for the partial sums of the geometric series in IX.35 without commenting on the possibility of letting the number of terms become infinite.

Euclid frequently used the method of proof by contradiction, and therefore the traditional presentation of Euclidean geometry assumes classical logic, in which every proposition is either true or false, i.e., for any proposition P, the proposition "P or not P" is automatically true.

Placing Euclidean geometry on a solid axiomatic basis was a preoccupation of mathematicians for centuries.^[47] The role of primitive notions, or undefined concepts, was clearly put forward by Alessandro Padoa of the Peano delegation at the 1900 Paris conference:^[47][48]

...when we begin to formulate the theory, we can imagine that the undefined symbols are completely devoid of meaning and that the unproved propositions are simply conditions imposed upon the undefined symbols.

Then, the system of ideas that we have initially chosen is simply one interpretation of the undefined symbols; but..this interpretation can be ignored by the reader, who is free to replace it in his mind by another interpretation.. that satisfies the conditions...

Logical questions thus become completely independent of empirical or psychological questions...

The system of undefined symbols can then be regarded as the abstraction obtained from the specialized theories that result when...the system of undefined symbols is successively replaced by each of the interpretations...

— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

That is, mathematics is context-independent knowledge within a hierarchical framework. As said by Bertrand Russell:^[49]

If our hypothesis is about anything, and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus, mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.

— Bertrand Russell, Mathematics and the metaphysicians

Such foundational approaches range between foundationalism and formalism.

Geometry is the science of correct reasoning on incorrect figures.

— George Pólya, How to Solve It, p. 208

• Euclid's axioms: In his dissertation to Trinity College, Cambridge, Bertrand Russell summarized the changing role of Euclid's geometry in the minds of philosophers up to that time.^[50] It was a conflict between certain knowledge, independent of experiment, and empiricism, requiring experimental input. This issue became clear as it was discovered that the parallel postulate was not necessarily valid and its applicability was an empirical matter, deciding whether the applicable geometry was Euclidean or non-Euclidean.
• Hilbert's axioms: Hilbert's axioms had the goal of identifying a simple and complete set of independent axioms from which the most important geometric theorems could be deduced. The outstanding objectives were to make Euclidean geometry rigorous (avoiding hidden assumptions) and to make clear the ramifications of the parallel postulate.
• Birkhoff's axioms: Birkhoff proposed four postulates for Euclidean geometry that can be confirmed experimentally with scale and protractor. This system relies heavily on the properties of the real numbers.^[51][52][53] The notions of angle and distance become primitive concepts.^[54]
• Tarski's axioms: Alfred Tarski (1902–1983) and his students defined elementary Euclidean geometry as the geometry that can be expressed in first-order logic and does not depend on set theory for its logical basis,^[55] in contrast to Hilbert's axioms, which involve point sets.^[56] Tarski proved that his axiomatic formulation of elementary Euclidean geometry is consistent and complete in a certain sense: there is an algorithm that, for every proposition, can be shown either true or false.^[33] (This does not violate Gödel's theorem, because Euclidean geometry cannot describe a sufficient amount of arithmetic for the theorem to apply.^[57]) This is equivalent to the decidability of real closed fields, of which elementary Euclidean geometry is a model.

• Absolute geometry
• Analytic geometry
• Birkhoff's axioms
• Cartesian coordinate system
• Hilbert's axioms
• Incidence geometry
• List of interactive geometry software
• Metric space
• Non-Euclidean geometry
• Ordered geometry
• Parallel postulate
• Type theory

• Angle bisector theorem
• Butterfly theorem
• Ceva's theorem
• Heron's formula
• Menelaus' theorem
• Nine-point circle
• Pythagorean theorem

• Ball, W. W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W. H. Freeman.
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. ISBN 9780684865232.
• Nagel, E.; Newman, J. R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
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• "Euclidean geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Plane trigonometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Archived 2011-10-26 at the Wayback Machine (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)