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Articulo de referencia

matriz aleatoria euclidiana

En matemáticas , una matriz aleatoria euclidiana N × N se define con la ayuda de una función determinista arbitraria f ( r , r ′) y de N puntos { r i } distribuidos aleatoriamen...

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En matemáticas , una matriz aleatoria euclidiana N × N se define con la ayuda de una función determinista arbitraria f ( r , r ′) y de N puntos { r i } distribuidos aleatoriamente en una región V del espacio euclidiano d -dimensional . El elemento A ij de la matriz es igual a f ( r i , r j ): A ij = f ( r i , r j ).

Historia

Las matrices aleatorias euclidianas se introdujeron por primera vez en 1999. [ 1 ] Estudiaron un caso especial de funciones f que dependen solo de las distancias entre los pares de puntos: f ( r , r ′) = f ( r - r ′) e impusieron una condición adicional sobre los elementos diagonales A ii ,

A ij = f ( r i - r j ) - u δ ij Σ k f ( r i - r k ),

motivados por el contexto físico en el que estudiaron la matriz. Una matriz de distancia euclidiana es un ejemplo particular de matriz aleatoria euclidiana con f ( r i - r j ) = | r i - r j | 2 o f ( r i - r j ) = | r i - r j |. [ 2 ]

Por ejemplo, en muchas redes biológicas, la fuerza de interacción entre dos nodos depende de la proximidad física de dichos nodos. Las interacciones espaciales entre nodos pueden modelarse como una matriz aleatoria euclidiana, si los nodos se colocan aleatoriamente en el espacio. [ 3 ] [ 4 ]

Propiedades

Debido a que las posiciones de los puntos { r i } son aleatorias, los elementos de la matriz A ij también lo son. Además, como los elementos N × N están completamente determinados por solo N puntos y, por lo general, interesa N ≫ d , existen fuertes correlaciones entre los diferentes elementos.

Ejemplo 1
Ejemplo de la distribución de probabilidad de los autovalores Λ de la matriz aleatoria euclidiana generada por la función f ( r , r ′) = sin( k 0 ǀ r - r ′ǀ)/( k 0 ǀ r - r ′ǀ), con k 0 = 2π/λ 0 . La distribución de Marchenko-Pastur (rojo) se compara con el resultado de la diagonalización numérica de un conjunto de matrices generadas aleatoriamente de tamaño N × N . La densidad de puntos es ρλ 0 3 = 0,1.

matrices aleatorias euclidianas hermíticas

Las matrices aleatorias euclidianas hermíticas aparecen en diversos contextos físicos, incluidos líquidos sobreenfriados, [ 5 ] fonones en sistemas desordenados, [ 6 ] y ondas en medios aleatorios. [ 7 ]

Ejemplo 1: Considere la matriz  generada por la función f ( r , r ′) = sin( k 0 | r - r ′|)/( k 0 | r - r ′|), con k 0 = 2π/λ 0 . Esta matriz es hermitiana y sus valores propios Λ son reales . Para N puntos distribuidos aleatoriamente en un cubo de lado L y volumen V = L 3 , se puede demostrar [ 7 ] que la distribución de probabilidad de Λ está dada aproximadamente por la ley de Marchenko-Pastur , si la densidad de puntos ρ = N / V obedece ρλ 0 3 ≤ 1 y 2.8 N /( k 0 L ) 2 < 1 (ver figura).

Ejemplo 2
Ejemplo de la distribución de probabilidad de los autovalores Λ de la matriz aleatoria euclidiana generada por la función f ( r , r ′) = exp( ik 0 ǀ r - r ′ǀ)/( k 0 ǀ r - r ′ǀ), con k 0 = 2π/λ 0 y f ( r = r ′) = 0.

Matrices aleatorias euclidianas no hermíticas

Se ha desarrollado una teoría para la densidad de valores propios de matrices aleatorias euclidianas no hermíticas grandes ( N ≫ 1) [ 8 ] y se ha aplicado para estudiar el problema del láser aleatorio . [ 9 ]

Ejemplo 2: Considere la matriz  generada por la función f ( r , r ′) = exp( ik 0 | r - r ′|)/( k 0 | r - r ′|), con k 0 = 2π/λ 0 y f ( r = r ′) = 0. Esta matriz no es hermitiana y sus autovalores Λ son complejos . La distribución de probabilidad de Λ se puede encontrar analíticamente [ 8 ] si la densidad del punto ρ = N / V obedece ρλ 0 3 ≤ 1 y 9 N /(8 k 0 R ) 2 < 1 (ver figura).

Referencias

  1. ↑ Mezard, M.; Parisi, G.; Zee, A. (1999). "Espectros de matrices aleatorias euclidianas". Nuclear Physics B . 559 (3): 689– 701. arXiv : cond-mat/9906135 . Bibcode : 1999NuPhB.559..689M . doi : 10.1016/S0550-3213(99)00428-9 . S2CID 3020186 . 
  2. ↑ Bogomolny, E.; Bohigas, O.; Schmit, C. (2003). "Propiedades espectrales de matrices de distancias". Revista de Física A: Matemática y General . 36 (12): 3595–3616 . arXiv : nlin/0301044 . Código Bib : 2003JPhA...36.3595B . doi : 10.1088/0305-4470/36/12/341 . S2CID 15199709 . 
  3. ↑ Muir, Dylan; Mrsic-Flogel, Thomas (2015). "Límites del espectro propio para matrices semialeatorias con estructura modular y espacial para redes neuronales" . Phys. Rev. E. 91 ( 4) 042808. Bibcode : 2015PhRvE..91d2808M . doi : 10.1103/PhysRevE.91.042808 . PMID 25974548 . 
  4. ↑ Grilli, Jacopo; Barabás, György; Allesina, Stefano (2015). "Persistencia de metapoblaciones en paisajes fragmentados aleatorios" . PLOS Computational Biology . 11 (5) e1004251. Bibcode : 2015PLSCB..11E4251G . doi : 10.1371 / journal.pcbi.1004251 . ISSN 1553-7358 . PMC 4439033. PMID 25993004 .   
  5. ↑ Grigera, TS; Martín-Mayor, V.; Parisi, G.; Verrocchio, P. (2003). "Interpretación fonónica del 'pico bosónico' en líquidos superenfriados". Nature . 422 (6929): 289– 292. Bibcode : 2003Natur.422..289G . doi : 10.1038/nature01475 . PMID 12646916 . S2CID 4393962 .  
  6. ↑ Amir, A.; Oreg, Y.; Imry, Y. (2010). "Localización, difusión anómala y relajaciones lentas: un enfoque de matriz de distancia aleatoria". Physical Review Letters . 105 (7) 070601. arXiv : 1002.2123 . Bibcode : 2010PhRvL.105g0601A . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.070601 . PMID 20868026 . S2CID 42664610 .  
  7. 1 2 Skipetrov, SE; Goetschy, A. (2011). "Distribuciones de valores propios de grandes matrices aleatorias euclidianas para ondas en medios aleatorios". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 44 (6) 065102. arXiv : 1007.1379 . Bibcode : 2011JPhA...44f5102S . doi : 10.1088/1751-8113/44/6/065102 . S2CID 119152955 . 
  8. 1 2 Goetschy, A.; Skipetrov, S. (2011). "Teoría de matrices aleatorias euclidianas no hermitianas". Physical Review E . 84 (1) 011150. arXiv : 1102.1850 . Bibcode : 2011PhRvE..84a1150G . doi : 10.1103/PhysRevE.84.011150 . PMID 21867155 . S2CID 44717545 .  
  9. ↑ Goetschy, A.; Skipetrov, SE (2011). "Teoría de la matriz euclidiana de la emisión láser aleatoria en una nube de átomos fríos". EPL . 96 (3) 34005. arXiv : 1104.2711 . Bibcode : 2011EL.....9634005G . doi : 10.1209/0295-5075/96/34005 . S2CID 119116200 .