Disco de Euler

El comportamiento de un disco giratorio cuyo centro está en reposo se puede describir de la siguiente manera. ^{[ 7 ]} Llamemos eje a la línea que va desde el centro del disco hasta el punto de contacto con el plano.${\textstyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$Dado que el centro del disco y el punto de contacto están instantáneamente en reposo (suponiendo que no hay deslizamiento), el eje${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$es el eje instantáneo de rotación. El momento angular es${\textstyle \mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}}$lo cual es válido para cualquier disco delgado y circularmente simétrico con masa${\displaystyle M}$;${\displaystyle k=1/2}$para un disco con masa concentrada en el borde,${\displaystyle k=1/4}$para un disco uniforme (como el disco de Euler),${\displaystyle a}$es el radio del disco, y${\displaystyle \omega }$es la velocidad angular a lo largo${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$.

La fuerza de contacto${\textstyle \mathbf {F} }$es${\textstyle Mg{\widehat {\mathbf {z} }}}$dónde${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional y${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$es el eje vertical apuntando hacia arriba. El torque alrededor del centro de masa es${\textstyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$que podemos reescribir como${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L} }$dónde${\textstyle {\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}}$Podemos concluir que tanto el momento angular como${\textstyle \mathbf {L} }$y el disco está precesando alrededor del eje vertical.${\textstyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$a tasa

Al mismo tiempo${\displaystyle \Omega }$es la velocidad angular del punto de contacto con el plano. Con el eje${\textstyle {\widehat {\mathbf {1} }}}$Definido para estar situado a lo largo del eje de simetría del disco y apuntando hacia abajo, sostiene que${\textstyle {\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}}$, dónde${\displaystyle \alpha }$es el ángulo de inclinación del disco con respecto al plano horizontal. La velocidad angular puede considerarse compuesta por dos partes.${\textstyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _ {\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}}$, dónde${\textstyle \omega _ {\text{rel}}}$es la velocidad angular del disco a lo largo de su eje de simetría. De la geometría se deduce fácilmente que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}}$$

Tapón${\displaystyle \omega =-\Omega \sin \alpha }$en la ecuación ( 1 ) finalmente se obtiene

Como${\displaystyle \alpha }$A medida que la velocidad angular del punto de contacto se aproxima a cero de forma adiabática${\displaystyle \Omega }$se vuelve muy grande, produciendo un sonido de alta frecuencia asociado con el disco giratorio. Sin embargo, la rotación de la figura en la cara de la moneda, cuya velocidad angular es${\textstyle \Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),}$Se aproxima a cero. La velocidad angular total${\textstyle \omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}}$También desaparece, así como la energía total.

$${\displaystyle E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha }$$

como${\displaystyle \alpha }$se aproxima a cero, utilizando la ecuación ( 2 ).

Como${\displaystyle \alpha }$Cuando se acerca a cero, el disco finalmente pierde contacto con la mesa y luego se asienta rápidamente sobre la superficie horizontal. Se oye un sonido a una frecuencia${\textstyle {\frac {\Omega }{2\pi }}}$, que se vuelve dramáticamente más alto,${\textstyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}}$, a medida que la velocidad de rotación de la figura disminuye,${\textstyle 2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}}$, hasta que el sonido cesa abruptamente.

A medida que un disco de simetría circular se asienta, la separación entre un punto fijo en la superficie de apoyo y el disco móvil superior oscila con una frecuencia creciente, en sincronía con el ángulo del eje de rotación respecto a la vertical.

La ilusión de levitación se produce cuando el borde del disco refleja la luz al inclinarse ligeramente hacia arriba sobre la superficie de apoyo, y en la sombra al inclinarse ligeramente hacia abajo en contacto con ella. La sombra no se percibe, y los reflejos rápidos y fugaces del borde sobre la superficie de apoyo se perciben como una elevación constante. Véase persistencia de la visión .

La ilusión de levitación se puede potenciar optimizando la curvatura del borde inferior para que la línea de sombra permanezca alta mientras el disco se asienta. Un espejo puede intensificar aún más el efecto al ocultar la superficie de apoyo y mostrar la separación entre la superficie del disco en movimiento y su imagen reflejada.

Las imperfecciones del disco, visibles en la sombra, que podrían dificultar la ilusión, pueden ocultarse en un patrón de la piel que se difumina con el movimiento.

^{A principios de la década} de 2000, un artículo publicado el 20 de abril de 2000 en Nature [ ^{4 ]} impulsó la investigación, donde Keith Moffatt demostró que la disipación viscosa en la delgada capa de aire entre el disco y la mesa sería suficiente para explicar la brusquedad observada en el proceso de asentamiento. También demostró que el movimiento culminaba en una singularidad de tiempo finito . Su primera hipótesis teórica fue refutada por investigaciones posteriores, que demostraron que la fricción de rodadura es, en realidad, el factor dominante.

Moffatt demostró que, con el tiempo${\displaystyle t}$se acerca un momento determinado${\displaystyle t_{0}}$(que matemáticamente es una constante de integración ), la disipación viscosa tiende al infinito . La singularidad que esto implica no se realiza en la práctica, porque la magnitud de la aceleración vertical no puede exceder la aceleración debida a la gravedad (el disco pierde contacto con su superficie de apoyo). Moffatt continúa mostrando que la teoría se rompe en un momento${\displaystyle \tau }$antes del tiempo de asentamiento final${\displaystyle t_{0}}$, dado por

${\displaystyle \tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{1/5}}$

dónde${\displaystyle a}$es el radio del disco,${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad terrestre,${\displaystyle \mu }$la viscosidad dinámica del aire y${\displaystyle M}$la masa del disco. Para el juguete Disco de Euler disponible comercialmente (ver enlace en "Enlaces externos" a continuación),${\displaystyle \tau }$Se trata de${\displaystyle 10^{-2}}$segundos, en cuyo momento el ángulo entre la moneda y la superficie,${\displaystyle \alpha }$, es aproximadamente 0,005 radianes y la velocidad angular de rodadura,${\displaystyle \Omega }$, es de aproximadamente 500 Hz.

Utilizando la notación anterior, el tiempo total de giro/laminado es:

${\displaystyle t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}}$

dónde${\displaystyle \alpha _{0}}$es la inclinación inicial del disco, medida en radianes . Moffatt también demostró que, si${\displaystyle t_{0}-t>\tau }$, la singularidad de tiempo finito en${\displaystyle \Omega }$es dado por

${\displaystyle \Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}.}$

El trabajo teórico de Moffatt inspiró a otros científicos a investigar experimentalmente el mecanismo de disipación de un disco giratorio, con resultados que contradecían parcialmente su explicación. Estos experimentos utilizaron objetos y superficies giratorias de diversas geometrías (discos y anillos), con diferentes coeficientes de fricción, tanto en el aire como en el vacío, y emplearon instrumentación como la fotografía de alta velocidad para cuantificar el fenómeno.

En el número del 30 de noviembre de 2000 de Nature , los físicos Van den Engh, Nelson y Roach discuten experimentos en los que se hicieron girar discos en el vacío. ^{[ 8 ]} Van den Engh usó un rijksdaalder , una moneda holandesa , cuyas propiedades magnéticas permitieron que girara a una velocidad determinada con precisión. Descubrieron que el deslizamiento entre el disco y la superficie podía explicar las observaciones, y que la presencia o ausencia de aire solo afectaba ligeramente el comportamiento del disco. Señalaron que el análisis teórico de Moffatt predeciría un tiempo de giro muy largo para un disco en el vacío, lo cual no se observó.

Moffatt respondió con una teoría generalizada que debería permitir la determinación experimental de qué mecanismo de disipación es dominante, y señaló que el mecanismo de disipación dominante siempre sería la disipación viscosa en el límite de valores pequeños.${\displaystyle \alpha }$(es decir, justo antes de que el disco se estabilice). ^{[ 9 ]}

Trabajos posteriores en la Universidad de Guelph por Petrie, Hunt y Gray ^{[ 10 ]} mostraron que realizar los experimentos en vacío (presión de 0,1 pascal ) no afectó significativamente la tasa de disipación de energía. Petrie et al. también mostraron que las tasas no se vieron afectadas en gran medida al reemplazar el disco por una forma de anillo , y que la condición de no deslizamiento se cumplió para ángulos mayores de 10°. Otro trabajo de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier y Vandewalle ^{[ 11 ]} ha concluido que el aire es una fuente menor de disipación de energía. El principal proceso de disipación de energía es el rodamiento y deslizamiento del disco sobre la superficie de apoyo. Se demostró experimentalmente que el ángulo de inclinación, la tasa de precesión y la velocidad angular siguen un comportamiento de ley de potencias.

Leine estudió varios tipos de disipación o fricción para el movimiento del disco de Euler. Ha demostrado que las observaciones experimentales son consistentes con dos tipos diferentes de fricción de contorno. La fricción de contorno actúa en contra del movimiento del punto de contacto a lo largo del borde del disco. Una forma predomina durante las primeras etapas del movimiento de rodadura, pero la otra fricción de contorno "viscosa" opera en el último segundo o dos. ^{[ 12 ] [ 13 ]}