Teorema del cuadrilátero de Euler

El teorema del cuadrilátero de Euler, o ley de Euler sobre cuadriláteros , que recibe su nombre de Leonhard Euler (1707-1783), describe la relación entre los lados de un cuadrilátero convexo y sus diagonales. Es una generalización de la ley del paralelogramo , que a su vez puede considerarse una generalización del teorema de Pitágoras . Debido a esto último, la reformulación del teorema de Pitágoras en términos de cuadriláteros se denomina ocasionalmente teorema de Euler-Pitágoras .

Para un cuadrilátero convexo con lados${\displaystyle a,b,c,d}$diagonales${\displaystyle e}$y${\displaystyle f}$, y${\displaystyle g}$Siendo el segmento de recta que conecta los puntos medios de las dos diagonales, se cumplen las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Si el cuadrilátero es un paralelogramo , entonces los puntos medios de las diagonales coinciden de modo que el segmento de línea que las conecta${\displaystyle g}$tiene longitud 0. Además, los lados paralelos tienen la misma longitud, por lo tanto, el teorema de Euler se reduce a

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

que es la ley del paralelogramo.

Si el cuadrilátero es un rectángulo , entonces la ecuación se simplifica aún más ya que ahora las dos diagonales también tienen la misma longitud:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Dividiendo por 2 se obtiene:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

En otras palabras, en el caso de un rectángulo, la relación entre los lados del cuadrilátero y sus diagonales se describe mediante el teorema de Pitágoras. ^{[ 1 ]}

Euler derivó originalmente el teorema anterior como corolario de un teorema ligeramente diferente que requiere la introducción de un punto adicional, pero que proporciona una visión estructural más profunda.

Para un cuadrilátero convexo dado${\displaystyle ABCD}$Euler introdujo un punto adicional${\displaystyle E}$de tal manera que${\displaystyle ABED}$forma un paralelogramo y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

La distancia${\displaystyle |CE|}$entre el punto adicional${\displaystyle E}$y el punto${\displaystyle C}$El hecho de que el cuadrilátero no sea parte del paralelogramo puede pensarse en medir cuánto se desvía el cuadrilátero de un paralelogramo y${\displaystyle |CE|^{2}}$es un término de corrección que debe agregarse a la ecuación original de la ley del paralelogramo. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle M}$siendo el punto medio de${\displaystyle AC}$rendimientos${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. Desde${\displaystyle N}$es el punto medio de${\displaystyle BD}$También es el punto medio de${\displaystyle AE}$, como${\displaystyle AE}$y${\displaystyle BD}$son ambas diagonales del paralelogramo${\displaystyle ABED}$Esto produce${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$y por lo tanto${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$Por lo tanto, se deduce del teorema de la intersección (y su recíproco) que${\displaystyle CE}$y${\displaystyle NM}$son paralelos y${\displaystyle |CE|^{2}=(2|MN|)^{2}=4|MN|^{2}}$, lo que da lugar al teorema de Euler. ^{[ 2 ]}

El teorema de Euler puede extenderse a un conjunto más amplio de cuadriláteros, que incluye los cruzados y no planos. Es válido para los llamados cuadriláteros generalizados , que simplemente consisten en cuatro puntos arbitrarios en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$conectados por aristas de manera que forman un grafo cíclico . ^{[ 3 ]}

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• Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero" . MathWorld .