Fórmula de reflexión

En matemáticas , una fórmula de reflexión o relación de reflexión para una función f es una relación entre f ( a − x ) y f ( x ) . Es un caso especial de ecuación funcional . En la literatura matemática, es común usar el término "ecuación funcional" para referirse específicamente a fórmulas de reflexión.

Las fórmulas de reflexión son útiles para el cálculo numérico de funciones especiales . En efecto, se puede emplear una aproximación que tenga mayor precisión o que solo converja en un lado de un punto de reflexión (normalmente en la mitad positiva del plano complejo ) para todos los argumentos.

Las funciones pares e impares satisfacen por definición relaciones de reflexión simples alrededor de a = 0. Para todas las funciones pares,

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

y para todas las funciones impares,

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

Una relación famosa es la fórmula de reflexión de Euler.

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

para la función gamma${\textstyle \Gamma (z)}$, debido a Leonhard Euler .

También existe una fórmula de reflexión para la función poligamma general de orden n ψ ^{( n )} ( z ) ,

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

lo cual surge trivialmente del hecho de que las funciones poligamma se definen como las derivadas de${\textstyle \ln \Gamma }$y por lo tanto heredan la fórmula de reflexión.

El dilogaritmo también satisface una fórmula de reflexión, ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

La función zeta de Riemann ζ ( z ) satisface

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

y la función de Riemann Xi ξ ( z ) satisface

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).}$$

• Weisstein, Eric W. "Relación de reflexión" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Función poligamma" . MathWorld .