Fórmula de Euler-Maclaurina

El término restante surge porque la integral generalmente no es exactamente igual a la suma. La fórmula se puede obtener aplicando integración por partes repetida a intervalos sucesivos [ r , r + 1] para r = m , m + 1, …, n − 1. Los términos de frontera en estas integraciones dan lugar a los términos principales de la fórmula, y las integrales sobrantes forman el término restante.

El término restante tiene una expresión exacta en términos de las funciones de Bernoulli periodizadas P _k ( x ) . Los polinomios de Bernoulli se pueden definir recursivamente por B ₀ ( x ) = 1 y, para k ≥ 1 , $${\displaystyle B_{k}'(x)=kB_{k-1}(x),\qquad \int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx=0.}$$ Las funciones de Bernoulli periodizadas se definen como $${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$ donde ⌊ x ⌋ denota el mayor entero menor o igual que x , de modo que x − ⌊ x ⌋ siempre se encuentra en el intervalo [0,1) .

Con esta notación, el término restante R _p es igual a $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

Cuando k > 0 , se puede demostrar que para 0 ≤ x ≤ 1 , $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$ donde ζ denota la función zeta de Riemann ; un método para demostrar esta desigualdad consiste en obtener la serie de Fourier para los polinomios B _k ( x ) . La cota se alcanza para k par cuando x es cero. El término ζ ( k ) puede omitirse para k impar , pero la demostración en este caso es más compleja (véase Lehmer). ^{[ 3 ]} Usando esta desigualdad, el tamaño del término restante puede estimarse como $${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

Los números de Bernoulli de B ₁ a B ₇ son ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 6 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 30 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 42 ⁠ , 0 . Por lo tanto, los casos de orden bajo de la fórmula de Euler-Maclaurin son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

El problema de Basilea consiste en determinar la suma $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Euler calculó esta suma con 20 decimales utilizando solo unos pocos términos de la fórmula de Euler-Maclaurin en 1735. Esto probablemente lo convenció de que la suma es igual a π²/6 , lo cual ^demostró ese mismo año. ^{[ 4 ]}

Si f es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término restante se anula. Por ejemplo, si f ( x ) = x ³ , podemos elegir p = 2 para obtener, después de simplificar, $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

La fórmula proporciona un medio para aproximar una integral finita. Sean a < b los extremos del intervalo de integración. Fijemos N , el número de puntos a usar en la aproximación, y denotemos el tamaño de paso correspondiente por h = ⁠ b − a / N − 1 ⁠ . Establezcamos x _i = a + ( i − 1) h , de modo que x ₁ = a y x _N = b . Entonces: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

Esto puede considerarse una extensión de la regla del trapecio mediante la inclusión de términos de corrección. Cabe señalar que esta expansión asintótica generalmente no converge; existe algún p , que depende de f y h , tal que los términos de orden superior a p aumentan rápidamente. Por lo tanto, el término restante generalmente requiere especial atención. ^{[ 5 ]}

La fórmula de Euler-Maclaurin también se utiliza para el análisis detallado de errores en la cuadratura numérica . Explica el rendimiento superior de la regla trapezoidal en funciones periódicas suaves y se emplea en ciertos métodos de extrapolación . La cuadratura de Clenshaw-Curtis consiste esencialmente en un cambio de variables para expresar una integral arbitraria en términos de integrales de funciones periódicas, donde el método de Euler-Maclaurin resulta muy preciso (en este caso particular, la fórmula de Euler-Maclaurin adopta la forma de una transformada discreta del coseno ). Esta técnica se conoce como transformación periodizante.

En el contexto del cálculo de expansiones asintóticas de sumas y series , por lo general la forma más útil de la fórmula de Euler-Maclaurin es $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

donde a y b son enteros. ^{[ 6 ]} A menudo, la expansión sigue siendo válida incluso después de tomar los límites a → −∞ o b → +∞ o ambos. En muchos casos, la integral del lado derecho se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales, aunque la suma del lado izquierdo no. Entonces, todos los términos de la serie asintótica se pueden expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

Aquí el lado izquierdo es igual a ψ ⁽¹⁾ ( z ) , es decir, la función poligamma de primer orden definida por

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z);}$

La función gamma Γ( z ) es igual a ( z − 1)! cuando z es un entero positivo . Esto da como resultado una expansión asintótica para ψ ⁽¹⁾ ( z ) . Dicha expansión, a su vez, sirve como punto de partida para una de las derivaciones de estimaciones de error precisas para la aproximación de Stirling de la función factorial .

Resumimos el argumento presentado en Apostol. ^{[ 1 ]}

Los polinomios de Bernoulli B _n ( x ) y las funciones periódicas de Bernoulli P _n ( x ) para n = 0, 1, 2, ... se introdujeron anteriormente.

Los primeros polinomios de Bernoulli son $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los valores B _n (1) son los números de Bernoulli B _n . Nótese que para n ≠ 1 tenemos $${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$ y para n = 1 , $${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

Las funciones P _n coinciden con los polinomios de Bernoulli en el intervalo [0,  1] y son periódicas con periodo 1. Además, excepto cuando n = 1 , también son continuas. Por lo tanto, $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

Sea k un número entero y consideremos la integral. $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

Integrando por partes , obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Usando B ₁ (0) = − ⁠ 1 / 2 ⁠ , B ₁ (1) = ⁠ 1 / 2 ⁠ , y sumando lo anterior desde k = 0 hasta k = n − 1 , obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Sumando ⁠ f ( n ) − f (0) / 2 ⁠ a ambos lados y reordenando, tenemos $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

Este es el caso p = 1 de la fórmula de sumatoria. Para continuar la inducción, aplicamos la integración por partes al término de error: $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

El resultado de integrar por partes es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Sumando desde k = 0 hasta k = n − 1 y sustituyendo esto por el término de error de orden inferior se obtiene el caso p = 2 de la fórmula,$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

Este proceso puede repetirse. De esta forma obtenemos una demostración de la fórmula de sumación de Euler-Maclaurin, que puede formalizarse mediante inducción matemática , en la que el paso de inducción se basa en la integración por partes y en identidades para funciones periódicas de Bernoulli.