ecuación de Euler-Lagrange

En el cálculo de variaciones y la mecánica clásica , las ecuaciones de Euler-Lagrange ^{[ 1 ]} son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios del funcional de acción dado . Estas ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange .

Debido a que un funcional diferenciable es estacionario en sus extremos locales , la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dado un funcional, se busca la función que lo minimiza o maximiza. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo , que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local, su derivada es cero. En mecánica lagrangiana , según el principio de acción estacionaria de Hamilton , la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler se denominan habitualmente ecuaciones de Lagrange . En mecánica clásica , ^{[ 2 ]} es equivalente a las leyes del movimiento de Newton ; de hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange producen las mismas ecuaciones que las leyes de Newton. Esto es particularmente útil al analizar sistemas cuyos vectores de fuerza son particularmente complejos. Tiene la ventaja de que adopta la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas y es más adecuada para generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo .

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en el marco de sus estudios sobre el problema de la tautócrona . Este problema consiste en determinar una curva sobre la cual una partícula ponderada caerá hasta un punto fijo en un tiempo determinado, independientemente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica lagrangiana . Su correspondencia finalmente dio lugar al cálculo de variaciones , término acuñado por el propio Euler en 1766. ^{[ 3 ]}

Declaración

Dejar $(X,L)$ ser un sistema dinámico real con $n$ grados de libertad. Aquí $X$ es el espacio de configuración y $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ el lagrangiano , es decir, una función suave de valor real tal que ${\boldsymbol {q}}(t)\in X,$ y ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ es un $n$ -vector de velocidad dimensional, donde ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ es la derivada temporal de ${\boldsymbol {q}}(t)$ . (Para aquellos familiarizados con la geometría diferencial , $X$ es un colector liso y $L\colon {\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ dónde $TX$ es el fibrado tangente de $X$ ). ^{[ 4 ]}

Dejar ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ser el conjunto de caminos suaves ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ para qué ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ y ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$ .

La acción funcional $S\colon {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ se define mediante $S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.$

Un camino ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ es un punto estacionario de $S$ si y solo si

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

Cuando decimos punto estacionario, nos referimos a un punto estacionario de $S$ con respecto a cualquier pequeña perturbación en ${\boldsymbol {q}}$ Consulte las pruebas a continuación para obtener detalles más rigurosos.

Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange unidimensional

La derivación de la ecuación de Euler-Lagrange unidimensional es una de las demostraciones clásicas en matemáticas . Se basa en el lema fundamental del cálculo de variaciones .

Deseamos encontrar una función $f$ que satisface las condiciones de contorno $f(a)=A$ , $f(b)=B$ y que extremiza lo funcional $J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$

Suponemos que $L$ es dos veces continuamente diferenciable. ^{[ 5 ]} Se puede utilizar una suposición más débil, pero la demostración se vuelve más difícil.

Si $f$ Extremiza el sujeto funcional a las condiciones de contorno, entonces cualquier pequeña perturbación de $f$ que preserva los valores límite debe aumentar $J$ (si $f$ es un minimizador) o disminuye $J$ (si $f$ es un maximizador).

Dejar $f+\varepsilon \eta$ ser el resultado de tal perturbación $\varepsilon \eta$ de $f$ , dónde $\varepsilon$ es pequeño y $\eta$ es una función diferenciable que satisface $\eta (a)=\eta (b)=0$ . Luego define $\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .$

Ahora deseamos calcular la derivada total de $\Phi$ con respecto a ε . ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}$

La tercera línea se deduce del hecho de que $x$ no depende de $\varepsilon$ , es decir ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ .

Cuando $\varepsilon =0$ , $\Phi$ tiene un valor extremo , de modo que $\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .$

El siguiente paso es utilizar la integración por partes en el segundo término del integrando, obteniendo $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .$

Utilizando las condiciones de contorno $\eta (a)=\eta (b)=0$ , $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$

Aplicando ahora el lema fundamental del cálculo de variaciones se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange. ${\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.$

Derivación alternativa de la ecuación de Euler-Lagrange unidimensional

Dado un funcional $J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$ en $C^{1}([a,b])$ con las condiciones de contorno $y(a)=A$ y $y(b)=B$ , procedemos aproximando la curva extremal mediante una línea poligonal con $n$ segmentos y pasando al límite a medida que el número de segmentos crece arbitrariamente grande.

Divide el intervalo $[a,b]$ en $n$ segmentos iguales con puntos finales $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ y dejar $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$ En lugar de una función suave $y(t)$ consideramos la línea poligonal con vértices $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$ , dónde $y_{0}=A$ y $y_{n}=B$ . En consecuencia, nuestro funcional se convierte en una función real de $n-1$ variables dadas por $J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

Extremos de este nuevo funcional definido en los puntos discretos $t_{0},\ldots ,t_{n}$ corresponden a puntos donde ${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

Tenga en cuenta que el cambio de $y_{m}$ afecta a L no solo en m sino también en m-1 para la derivada del tercer argumento. $L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$ $L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$

Evaluar la derivada parcial da como resultado ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$

Dividiendo la ecuación anterior por $\Delta t$ da ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$ y tomando el límite como $\Delta t\to 0$ del lado derecho de esta expresión produce $L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$

El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada funcional. $\delta J/\delta y$ de la función $J$ . Una condición necesaria para que un funcional diferenciable tenga un extremo en alguna función es que su derivada funcional en esa función sea cero, lo cual está garantizado por la última ecuación.

Ejemplo

Un ejemplo estándar es encontrar la función de valor real y ( x ) en el intervalo [ a , b ], tal que y ( a ) = c e y ( b ) = d , para la cual la longitud del camino a lo largo de la curva trazada por y sea lo más corta posible.

{\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,

la función integrando es ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ .

Las derivadas parciales de L son:

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.

Al sustituir estos en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}

Es decir, la función debe tener una primera derivada constante y, por lo tanto, su gráfica es una línea recta .

Momentos canónicos y constantes de movimiento

El momento conjugado $p k$ para una coordenada generalizada $q k$ se define mediante la ecuación $p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$

Un caso especial importante de la ecuación de Euler-Lagrange ocurre cuando L no contiene explícitamente una coordenada generalizada $q k ,$ ${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$ es decir, el momento conjugado es una constante del movimiento .

En tales casos, la coordenada $q k$ se denomina coordenada cíclica . Por ejemplo, si utilizamos coordenadas polares $t$ , $r$ , $θ$ para describir el movimiento planar de una partícula, y si $L$ no depende de $θ , el momento conjugado es el$ momento angular conservado .

Generalizaciones

Función única de una sola variable con derivadas de orden superior

Los valores estacionarios de la función

I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}

se puede obtener a partir de la ecuación de Euler-Lagrange ^{[ 6 ]}

{\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0

bajo condiciones de contorno fijas para la función misma, así como para la primera $k-1$ derivados (es decir, para todos $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ ). Los valores finales de la derivada más alta $f^{(k)}$ Mantente flexible.

Varias funciones de una sola variable con una sola derivada

Si el problema implica encontrar varias funciones ( $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ ) de una sola variable independiente ( $x$ ) que definen un extremo de la función

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}

Entonces, las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son ^{[ 7 ].}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}

Función única de varias variables con una sola derivada

Una generalización multidimensional surge al considerar una función en n variables. Si $\Omega$ es alguna superficie, entonces

I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}

se extremiza solo si f satisface la ecuación diferencial parcial

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.

Cuando n = 2 y funcional ${\mathcal {I}}$ es el funcional de energía , esto lleva al problema de la superficie mínima de la película de jabón.

Varias funciones de varias variables con una sola derivada

Si hay varias funciones desconocidas que determinar y varias variables tales que

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}

El sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange es ^{[ 6 ].}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}

Función única de dos variables con derivadas de orden superior

Si hay una única función desconocida f que debe determinarse y que depende de dos variables x ₁ y x ₂ , y si el funcional depende de derivadas superiores de f hasta el orden n , de tal manera que

{\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

entonces la ecuación de Euler-Lagrange es ^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}

que se puede representar brevemente como:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

donde $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ son índices que abarcan el número de variables, es decir, aquí van de 1 a 2. Aquí la suma sobre el $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ Los índices son solo más $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ para evitar contar la misma derivada parcial varias veces, por ejemplo $f_{12}=f_{21}$ aparece solo una vez en la ecuación anterior.

Varias funciones de varias variables con derivadas de orden superior

Si hay p funciones desconocidas f _i que deben determinarse y que dependen de m variables x ₁ ... x _m , y si el funcional depende de derivadas superiores de f _i hasta el orden n , de tal manera que

{\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

dónde $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ son índices que abarcan el número de variables, es decir, van de 1 a m. Entonces la ecuación de Euler-Lagrange es

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

donde la suma sobre el $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ evitar contar la misma derivada $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ varias veces, al igual que en la subsección anterior. Esto se puede expresar de forma más compacta como

\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

teorías de campo

Generalización a variedades

Dejar $M$ ser un colector liso y dejar $C^{\infty }([a,b])$ denotemos el espacio de funciones suaves $f\colon [a,b]\to M$ . Luego, para los funcionales $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ de la forma

S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t

dónde $L\colon TM\to \mathbb {R}$ es el lagrangiano, la afirmación $\mathrm {d} S_{f}=0$ es equivalente a la afirmación de que, para todo $t\in [a,b]$ , cada trivialización del marco de coordenadas $(x^{i},X^{i})$ de un barrio de ${\dot {f}}(t)$ produce lo siguiente $\dim M$ ecuaciones:

\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se pueden escribir en una forma libre de coordenadas como ^{[ 8 ].}

{\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL

dónde $\theta _{L}$ es la forma 1 canónica de momentos correspondiente al lagrangiano $L$ . El campo vectorial que genera las traslaciones temporales se denota por $\Delta$ y la derivada de Lie se denota por ${\mathcal {L}}$ Se pueden utilizar gráficos locales. $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ en el cual $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ y ${\displaystyle \Delta$ y utilice expresiones de coordenadas para la derivada de Lie para ver la equivalencia con expresiones de coordenadas de la ecuación de Euler-Lagrange. La forma libre de coordenadas es particularmente adecuada para la interpretación geométrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Véase también

Notas

↑ Fox, Charles (1987). Introducción al cálculo de variaciones . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
↑ Goldstein, H. ; Poole, CP ; Safko, J. (2014). Mecánica clásica (3.ª ed.). Addison Wesley.
↑ Breve biografía de Lagrange. Archivada el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine.
↑ «Elementos del cálculo de variaciones» , Lecciones sobre la geometría de variedades (3.ª ed.), WORLD SCIENTIFIC, noviembre de 2020, págs. 201–226 , doi : 10.1142/9789811214820_0005 , ISBN 978-981-12-1481-3, consultado el 31 de octubre de 2025
↑ Courant & Hilbert 1953 , pág. 184
1 2 3 Courant, R .; Hilbert, D. (1953). Métodos de física matemática . Vol. I (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Weinstock, R. (1952). Cálculo de variaciones con aplicaciones a la física y la ingeniería . Nueva York: McGraw-Hill.
↑ José; Saletan (1998). Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo . Cambridge University Press . ISBN 9780521636360. Consultado el 12 de septiembre de 2023 .

Referencias

"Ecuaciones de Lagrange (en mecánica)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange" . MundoMatemático .
Cálculo de variaciones en PlanetMath .
Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Cálculo de variaciones . Dover. ISBN 0-486-41448-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Roubicek, T.: Cálculo de variaciones . Cap. 17 en: Herramientas matemáticas para físicos . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, págs. 551–588.

[1] Fox, Charles (1987). Introducción al cálculo de variaciones . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.

[Goldstein-2] Goldstein, H. ; Poole, CP ; Safko, J. (2014). Mecánica clásica (3.ª ed.). Addison Wesley.

[3] Breve biografía de Lagrange. Archivada el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine.

[4] «Elementos del cálculo de variaciones» , Lecciones sobre la geometría de variedades (3.ª ed.), WORLD SCIENTIFIC, noviembre de 2020, págs. 201–226 , doi : 10.1142/9789811214820_0005 , ISBN 978-981-12-1481-3, consultado el 31 de octubre de 2025

[CourantP184-5] Courant & Hilbert 1953 , pág. 184

[Courant-6] 1 2 3 Courant, R .; Hilbert, D. (1953). Métodos de física matemática . Vol. I (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Weinstock-7] Weinstock, R. (1952). Cálculo de variaciones con aplicaciones a la física y la ingeniería . Nueva York: McGraw-Hill.

[8] José; Saletan (1998). Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo . Cambridge University Press . ISBN 9780521636360. Consultado el 12 de septiembre de 2023 .

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