Fórmula de Euler-Rodrigues

En matemáticas y mecánica , la fórmula de Euler - Rodrigues describe la rotación de un vector en tres dimensiones. Se basa en la fórmula de rotación de Rodrigues , pero utiliza una parametrización diferente.

La rotación se describe mediante cuatro parámetros de Euler, debido a Leonhard Euler . La fórmula de rotación de Rodrigues (que lleva el nombre de Olinde Rodrigues ), un método para calcular la posición de un punto rotado, se utiliza en algunas aplicaciones de software, como simuladores de vuelo y videojuegos .

Una rotación alrededor del origen está representada por cuatro números reales, a , b , c , d , tales que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Cuando se aplica la rotación, un punto en la posición${\displaystyle {\vec {x}}}$gira a su nueva posición, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

Cualquier rotación central en tres dimensiones está determinada unívocamente por su eje de rotación (representado por un vector unitario k → = ( ​​k _x , k _y , k _z ) ) y el ángulo de rotación φ . Los parámetros de Euler para esta rotación se calculan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}$

Nótese que si φ aumenta en una rotación completa de 360 ​​grados, los argumentos del seno y el coseno solo aumentan en 180 grados. Los parámetros resultantes son opuestos a los valores originales, (−a , −b , −c , −d ) ; representan la misma rotación.

En particular, la transformación identidad (rotación nula, φ = 0 ) corresponde a valores de parámetros ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . Las rotaciones de 180 grados alrededor de cualquier eje dan como resultado a = 0 .

Los parámetros de Euler pueden verse como los coeficientes de un cuaternión ; el parámetro escalar a es la parte real, los parámetros vectoriales b , c , d son las partes imaginarias. Por lo tanto, tenemos el cuaternión

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$

que es un cuaternión de longitud unitaria (o versor ) ya que

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Lo más importante es que las ecuaciones anteriores para la composición de rotaciones son precisamente las ecuaciones para la multiplicación de cuaterniones.${\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}$En otras palabras, el grupo de cuaterniones unitarios con multiplicación, módulo el signo negativo, es isomorfo al grupo de rotaciones con composición.

Una rotación en 3D puede representarse, por lo tanto, mediante un cuaternión unitario q :

${\displaystyle q=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathbf {k} \sin {\frac {\varphi }{2}}=a+{\vec {\omega }},}$

dónde:

• ${\displaystyle \cos {\tfrac {\varphi }{2}}}$es la parte escalar (real),
• ${\displaystyle \mathbf {k} \sin {\tfrac {\varphi }{2}}}$es la parte vectorial (imaginaria),
• ${\displaystyle \mathbf {k} }$es un vector unitario que representa el eje de rotación.

Para un vector 3D${\displaystyle \mathbf {v} }$identificado como un cuaternión puro, el vector rotado${\displaystyle \mathbf {v} '}$está dado por:

${\displaystyle \mathbf {v} '=q\mathbf {v} q^{-1},}$

dónde${\displaystyle q^{-1}=\cos {\tfrac {\varphi }{2}}-\mathbf {k} \sin {\tfrac {\varphi }{2}}=a-{\vec {\omega }}.}$

Se puede demostrar que la ecuación anterior es equivalente a la ecuación de Euler-Rodrigues aprovechando la relación de conmutación.

${\displaystyle q_{2}q_{1}=q_{1}q_{2}-2\mathbf {k_{1}} \times \mathbf {k_{2}} }$

y el hecho de que${\displaystyle qq^{-1}=1}$como sigue:

${\displaystyle q\mathbf {v} q^{-1}=q(q^{-1}\mathbf {v} -2(-{\vec {\omega }})\times \mathbf {v} )}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}={\cancel {qq^{-}1}}\mathbf {v} +\underbrace {(a+{\vec {\omega }})} _{q}(2{\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}=\mathbf {v} +2a({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )+2({\cancel {-{\vec {\omega }}\cdot ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} ))}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}=\mathbf {v} +2a({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )+2({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} ))}$

donde, en la penúltima igualdad, el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero.

El grupo de Lie SU(2) se puede utilizar para representar rotaciones tridimensionales en matrices complejas de 2 × 2. La matriz SU(2) correspondiente a una rotación, en términos de sus parámetros de Euler, es

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}$

que se puede escribir como la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$

donde las σ _i son las matrices de espín de Pauli .

La rotación viene dada por${\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}$, lo cual se puede confirmar multiplicando se obtiene la fórmula de Euler-Rodrigues como se indicó anteriormente.

Así, los parámetros de Euler son las coordenadas real e imaginaria en una matriz SU(2) correspondiente a un elemento del grupo de espín Spin(3), que se transforma mediante una doble cobertura en una rotación del grupo ortogonal SO(3). Esto realiza${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$como la única representación irreducible tridimensional del grupo de Lie SU(2) ≈ Spin(3).

• Formalismos de rotación en tres dimensiones
• Cuaterniones y rotación espacial
• Versor
• Espinores en tres dimensiones
• SO(4)
• Grupo de rotación 3D
• Modelo Beltrami-Klein (modelo Cayley-Klein)
• Métrica de Cayley-Klein

• Cartan, Élie (1981). La teoría de los espinores . Dover. ISBN 0-486-64070-1.
• Hamilton, WR (1899). Elementos de cuaterniones . Cambridge University Press.
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• Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (junio de 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" . Revista Mexicana de Física E (en español): 109– 113.
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