Rotaciones encadenadas de Davenport

En física e ingeniería , las rotaciones encadenadas de Davenport son tres rotaciones intrínsecas encadenadas alrededor de ejes específicos fijos al cuerpo. Las rotaciones de Euler y las rotaciones de Tait-Bryan son casos particulares de la descomposición general de la rotación de Davenport. Los ángulos de rotación se denominan "ángulos de Davenport" porque el problema general de descomponer una rotación en una secuencia de tres fue estudiado por primera vez por Paul B. Davenport. ^{[ 1 ]}

El sistema de coordenadas rotatorio no ortogonal puede imaginarse como rígidamente unido a un cuerpo rígido . En este caso, a veces se le denomina sistema de coordenadas local . Dado que los ejes de rotación son solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas pueden dividirse en dos grupos (aquí x , y y z se refieren al marco de referencia móvil no ortogonal ):

Rotaciones de Euler generalizadas

( zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy )

Rotaciones generalizadas de Tait-Bryan

( xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz ) .

La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, dado que las rotaciones generalizadas de Euler son un caso degenerado en el que el primer y el tercer eje se superponen.

El problema general de descomponer una rotación en tres movimientos compuestos alrededor de ejes intrínsecos fue estudiado por P. Davenport, bajo el nombre de " ángulos de Euler generalizados ", pero más tarde estos ángulos fueron denominados "ángulos de Davenport" por M. Shuster y L. Markley. ^{[ 2 ]}

El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación dados los tres ejes conocidos. En algunos casos, uno de los ejes se repite. Este problema es equivalente a un problema de descomposición de matrices. ^{[ 3 ]}

Davenport demostró que se puede lograr cualquier orientación componiendo tres rotaciones elementales mediante ejes no ortogonales. Las rotaciones elementales pueden ocurrir alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo ( rotaciones extrínsecas ) o alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas giratorio, que inicialmente está alineado con el fijo y modifica su orientación después de cada rotación elemental ( rotaciones intrínsecas ).

Según el teorema de Davenport, una descomposición única es posible si y solo si el segundo eje es perpendicular a los otros dos ejes. Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2. ^{[ 2 ]}

Por lo tanto, las descomposiciones en rotaciones encadenadas de Euler y de Tait-Bryan son casos particulares de esto. El caso de Tait-Bryan se presenta cuando los ejes 1 y 3 son perpendiculares, y el caso de Euler se presenta cuando se superponen.

Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport es completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio mediante composición. En términos matriciales, es completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio cuyo determinante sea +1. Debido a la no conmutatividad del producto matricial, el sistema de rotación debe estar ordenado.

En ocasiones, el orden viene determinado por la geometría del problema subyacente. Por ejemplo, en vehículos, que poseen un eje especial que apunta hacia adelante, solo una de las seis combinaciones posibles de rotaciones resulta útil. La combinación interesante es aquella que permite controlar la dirección y la elevación de la aeronave con una rotación independiente para cada una.

En el dibujo adjunto, la composición de guiñada, cabeceo y alabeo (YPR) permite ajustar la dirección de una aeronave con los dos primeros ángulos. Una composición diferente, como YRP, permitiría determinar la dirección del eje de las alas, lo cual, obviamente, no resulta útil en la mayoría de los casos.

Las rotaciones de Tait-Bryan son un caso especial en el que el primer y el tercer eje son perpendiculares entre sí. Suponiendo un sistema de referencia ⟨ x , y , z ⟩ con una convención como en la figura 1, y un plano con ejes ⟨ guiñada, cabeceo, balanceo ⟩ como en la figura 2, que se encuentra horizontal en el plano ⟨ x, y ⟩ al principio, después de realizar rotaciones intrínsecas Y, P y R en los ejes de guiñada, cabeceo y balanceo (en este orden) obtenemos algo similar a la figura 3.

Al principio  :

• El eje de balanceo del avión se encuentra sobre el eje x del sistema de referencia.
• El eje de cabeceo del plano se encuentra sobre el eje y del sistema de referencia.
• El eje de guiñada del plano está sobre el eje z del sistema de referencia.

Las rotaciones se aplican en el orden guiñada, cabeceo y alabeo . En estas condiciones, el rumbo (ángulo en el plano horizontal) será igual a la guiñada aplicada, y la elevación será igual al cabeceo.

Las expresiones matriciales para las tres rotaciones de Tait-Bryan en 3 dimensiones son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Guía} (\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

La matriz de las rotaciones compuestas es

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {Yaw} (\psi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Roll} (\phi )\\&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}$

De las seis combinaciones posibles de guiñada, cabeceo y balanceo, esta combinación es la única en la que el rumbo (dirección del eje de balanceo) es igual a una de las rotaciones (la guiñada) y la elevación (ángulo del eje de balanceo con el plano horizontal) es igual a la otra de las rotaciones (el cabeceo).

Las rotaciones de Euler se presentan como un caso especial en el que el primer y el tercer eje de rotación se superponen. Estas rotaciones están relacionadas con los ángulos de Euler propios, que se concibieron para estudiar el movimiento de un cuerpo rígido, como un planeta. El ángulo que define la dirección del eje de balanceo se denomina normalmente «longitud del eje de revolución» o «longitud de la línea de nodos», en lugar de «rumbo», término que carece de sentido para un planeta.

De todos modos, las rotaciones de Euler aún pueden usarse al hablar de un vehículo, aunque tendrán un comportamiento peculiar. Como el eje vertical es el origen de los ángulos, se denomina «inclinación» en lugar de «elevación». Al igual que antes, para describir la actitud de un vehículo, se considera que un eje apunta hacia adelante, por lo que solo una de las posibles combinaciones de rotaciones será útil.

La combinación depende de cómo se tomen los ejes y de la posición inicial del plano. Si se utiliza el eje del dibujo y se combinan rotaciones de forma que se repita un eje, solo la rotación de balanceo-cabeceo-balanceo permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.

Las tres matrices que hay que multiplicar son:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

En esta convención, el Rollo ₁ impone el "rumbo", el cabeceo es la "inclinación" (complementaria de la elevación) y el Rollo ₂ impone la "inclinación".

Las rotaciones de Davenport se suelen estudiar como una composición de rotación intrínseca, debido a la importancia de los ejes fijos a un cuerpo en movimiento, pero pueden convertirse en una composición de rotación extrínseca, en caso de que resulte más intuitivo.

Cualquier rotación extrínseca es equivalente a una rotación intrínseca por los mismos ángulos pero con el orden invertido de las rotaciones elementales, y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z″ por ángulos α , β , γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas zyx por ángulos γ , β , α . Ambas están representadas por una matriz

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

Dónde${\displaystyle X(\alpha )}$,${\displaystyle Y(\beta )}$, y${\displaystyle Z(\gamma )}$son las matrices de rotación elementales de los ángulos correspondientes. El producto de estas matrices,${\displaystyle R}$, entonces debe premultiplicarse por un vector columna . Tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación , ya que algunas definiciones pueden usar vectores fila en su lugar.

• Descomposición matricial
• Rotación de Givens