Sustitución de Euler

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

$${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}$$

donde es una función racional de y . En tales casos, el integrando puede transformarse en una función racional mediante las sustituciones de Euler. ^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando . Sustituimos y resolvemos la expresión resultante para . Tenemos que y que el término es expresable racionalmente en . ${\displaystyle a>0}$$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle t}$

En esta sustitución se puede elegir tanto el signo positivo como el signo negativo.

Si , tomamos Resolvemos de manera similar a lo anterior y encontramos ${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$$

Nuevamente, se puede elegir tanto el signo positivo como el negativo.

Si el polinomio tiene raíces reales y , podemos elegir . Esto da como resultado y como en los casos anteriores, podemos expresar racionalmente todo el integrando en . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$${\displaystyle t}$

En la integral podemos utilizar la primera sustitución y hacer , por lo tanto En consecuencia, obtenemos: ${\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$$${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C}$$

Los casos dan las fórmulas ${\displaystyle c=\pm 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}$$

Para hallar el valor de encontramos mediante la primera sustitución de Euler, . Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación obtenemos , de la cual los términos se cancelarán. Resolviendo para obtenemos $${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}$$${\displaystyle t}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$$

A partir de ahí, encontramos que los diferenciales y están relacionados por ${\displaystyle dx}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}$

Por eso, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$$

En la integral podemos utilizar la segunda sustitución y hacer . Por lo tanto y $${\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}$$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}$$

En consecuencia, obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\[4pt]&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1\right|+C\end{aligned}}}$$

Para evaluar podemos utilizar la tercera sustitución y hacer . Por lo tanto y $${\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}$$${\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$$${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}$$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}$$

A continuación, como podemos ver, esta es una función racional que se puede resolver utilizando fracciones parciales. $${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}$$

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral , se puede utilizar la sustitución . Las extensiones a los números complejos nos permiten utilizar todo tipo de sustitución de Euler independientemente de los coeficientes en la cuadrática. ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más grande de funciones. Consideremos integrales de la forma donde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral donde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, se puede emplear la factorización y la descomposición en fracciones parciales para descomponer la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo . ^[2]$${\displaystyle \int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,dx,}$$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$$${\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}$$${\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}$${\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}$${\displaystyle t}$

• Integración por sustitución
• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Weierstrass

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