Evento (teoría de la probabilidad)

En teoría de la probabilidad , un evento es un subconjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral ) al que se le asigna una probabilidad. ^{[ 1 ]} Un solo resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, ^{[ 2 ]} y los diferentes eventos en un experimento generalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos de resultados muy diferentes. ^{[ 3 ]} Un evento que consta de un solo resultado se llama evento elemental o evento atómico ; es decir, es un conjunto unitario . Un evento que tiene más de un resultado posible se llama evento compuesto.${\displaystyle S}$Se dice que ocurre si${\displaystyle S}$contiene el resultado${\displaystyle x}$del experimento (o ensayo) (es decir, si${\displaystyle x\in S}$). ^{[ 4 ]} La probabilidad (con respecto a alguna medida de probabilidad ) de que ocurra un evento${\displaystyle S}$ocurre es la probabilidad de que${\displaystyle S}$contiene el resultado${\displaystyle x}$de un experimento (es decir, es la probabilidad de que${\displaystyle x\in S}$Un evento define un evento complementario , es decir, el conjunto complementario (el evento que no ocurre), y juntos estos definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió el evento o no?

Por lo general, cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento (es decir, todos los elementos del conjunto potencia del espacio muestral se definen como eventos). ^{[ 5 ]} Sin embargo, este enfoque no funciona bien en casos donde el espacio muestral es infinito no numerable . Por lo tanto, al definir un espacio de probabilidad , es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral de ser eventos (véase §  Eventos en espacios de probabilidad , más adelante).

Si reunimos una baraja de 52 cartas sin comodines y extraemos una sola carta, el espacio muestral es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta representa un resultado posible. Un evento, sin embargo, es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluyendo cualquier conjunto unitario (un evento elemental ), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el propio espacio muestral (un evento cierto, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Por ejemplo, algunos eventos potenciales son:

• "Rojo y negro al mismo tiempo sin ser un comodín" (0 elementos),
• "El 5 de Corazones" (1 elemento),
• "Un Rey" (4 elementos),
• "Una carta de figura" (12 elementos),
• "Una pica" (13 elementos),
• "Una figura o un palo rojo" (32 elementos),
• "Una carta" (52 elementos).

Dado que todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}) y se representan gráficamente mediante diagramas de Venn . En la situación en la que cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidad${\displaystyle P}$de un evento${\displaystyle A}$es lo siguientefórmula : $${\displaystyle \mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternativamente:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)}$$ Esta regla se puede aplicar fácilmente a cada uno de los ejemplos anteriores.

Definir todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando solo hay un número finito de resultados, pero genera problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar , como la distribución normal , el espacio muestral es el conjunto de los números reales o algún subconjunto de los números reales . Los intentos de definir probabilidades para todos los subconjuntos de los números reales presentan dificultades al considerar conjuntos con comportamientos atípicos , como aquellos que no son medibles . Por lo tanto, es necesario restringir la atención a una familia más limitada de subconjuntos. Para que las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales , funcionen, es necesario utilizar un álgebra σ , es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones numerables de sus miembros. La elección más natural de álgebra σ es el conjunto medible de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más amplia de conjuntos medibles de Lebesgue resulta más útil en la práctica.

En la descripción general de los espacios de probabilidad desde la perspectiva de la teoría de la medida , un evento puede definirse como un elemento de un álgebra ω seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento del álgebra ω no es un evento y, por lo tanto, no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos del álgebra ω .

Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio muestral${\displaystyle \Omega ,}$A menudo se escriben como predicados o indicadores que involucran variables aleatorias . Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio muestral${\displaystyle \Omega ,}$el evento $${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,}$$ se puede escribir de forma más conveniente como, simplemente, $${\displaystyle u<X\leq v\,.}$$ Esto es especialmente común en fórmulas para una probabilidad , como por ejemplo: $${\displaystyle \Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.}$$ El conjunto${\displaystyle u<X\leq v}$es un ejemplo de una imagen inversa bajo el mapeo${\displaystyle X}$porque${\displaystyle \omega \in X^{-1}((u,v])}$si y solo si${\displaystyle u<X(\omega )\leq v.}$

• Átomo (teoría de la medida) – Conjunto mínimo medible con medida positiva 
• Evento complementario : lo opuesto a un evento de probabilidad. 
• Evento elemental : evento que contiene un único resultado. 
• Evento independiente : cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de otro. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Resultado (probabilidad) : posible resultado de un experimento o ensayo. 
• Eventos independientes por pares : conjunto de variables aleatorias de las cuales cualesquiera dos son independientes. 

• "Evento aleatorio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal en el sistema Mizar .