Diagonalización exacta

La diagonalización exacta (DE) es una técnica numérica utilizada en física para determinar los autoestados y los autovalores de energía de un hamiltoniano cuántico . En esta técnica, un hamiltoniano para un sistema discreto y finito se expresa en forma matricial y se diagonaliza mediante un ordenador. La diagonalización exacta solo es factible para sistemas con pocos grados de libertad, debido al crecimiento exponencial de la dimensión del espacio de Hilbert con el tamaño del sistema cuántico. Se emplea frecuentemente para estudiar modelos de red, incluidos el modelo de Hubbard , el modelo de Ising , el modelo de Heisenberg , el modelo t - J y el modelo SYK . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Después de determinar los autoestados${\displaystyle |n\rangle }$y energías${\displaystyle \epsilon _{n}}$Para un hamiltoniano dado, se puede utilizar la diagonalización exacta para obtener valores esperados de observables. Por ejemplo, si${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es un observable, su valor esperado térmico es

${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n|{\mathcal {O}}|n\rangle ,}$

dónde${\displaystyle Z=\sum _ {n}e^{-\beta \epsilon _ {n}}}$es la función de partición . Si el observable se puede escribir en la base inicial del problema, entonces esta suma se puede evaluar después de transformarla a la base de autoestados.

Las funciones de Green pueden evaluarse de forma similar. Por ejemplo, la función de Green retardada.${\displaystyle G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle }$se puede escribir

${\displaystyle G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\sum _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n}}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.}$

La diagonalización exacta también se puede utilizar para determinar la evolución temporal de un sistema después de un cambio brusco . Supongamos que el sistema se ha preparado en un estado inicial.${\displaystyle |\psi \rangle }$y luego por tiempo${\displaystyle t>0}$evoluciona bajo un nuevo hamiltoniano,${\displaystyle {\mathcal {H}}}$El estado en ese momento${\displaystyle t}$es

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle .}$

La dimensión del espacio de Hilbert que describe un sistema cuántico aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema. Por ejemplo, consideremos un sistema de${\displaystyle N}$espines localizados en sitios de red fijos. La dimensión de la base en el sitio es 2, porque el estado de cada espín se puede describir como una superposición de espín hacia arriba y espín hacia abajo, denotado${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$y${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$. El sistema completo tiene dimensión${\displaystyle 2^{N}}$y el hamiltoniano representado como una matriz tiene tamaño${\displaystyle 2^{N}\times 2^{N}}$Esto implica que el tiempo de cálculo y los requisitos de memoria aumentan desfavorablemente en la diagonalización exacta. En la práctica, los requisitos de memoria pueden reducirse aprovechando la simetría del problema, imponiendo leyes de conservación, trabajando con matrices dispersas o utilizando otras técnicas para reducir la dimensión del espacio de Hilbert. ^{[ 3 ]}

La diagonalización exacta es útil para extraer información precisa sobre sistemas finitos. Sin embargo, a menudo se estudian sistemas pequeños para comprender mejor los sistemas reticulares infinitos. Si el sistema diagonalizado es demasiado pequeño, sus propiedades no reflejarán las del sistema en el límite termodinámico , y se dice que la simulación sufre efectos de tamaño finito.

A diferencia de otras técnicas de teoría exacta, como el método de Monte Carlo de campo auxiliar , la diagonalización exacta obtiene las funciones de Green directamente en tiempo real, en lugar de en tiempo imaginario . A diferencia de estas otras técnicas, los resultados de la diagonalización exacta no necesitan ser continuados numéricamente de forma analítica . Esto representa una ventaja, ya que la continuación numérica analítica es un problema de optimización mal condicionado y complejo. ^{[ 4 ]}

• Puede utilizarse como solucionador de impurezas para técnicas de teoría de campo medio dinámico . ^{[ 5 ]}
• Cuando se combina con el escalamiento de tamaño finito, estima la energía del estado fundamental y los exponentes críticos del modelo de Ising de campo transversal 1D . ^{[ 6 ]}
• Estudio de las propiedades del modelo de Heisenberg 2D en un campo magnético, incluyendo el antiferromagnetismo y la velocidad de las ondas de espín. ^{[ 7 ]}
• Estudio del peso de Drude del modelo de Hubbard 2D. ^{[ 8 ]}
• Estudio de correlaciones fuera de orden temporal (OTOC) y permutación en el modelo SYK. ^{[ 9 ]}
• Simulación de espectros de rayos X resonantes de materiales fuertemente correlacionados. ^{[ 10 ]}
• Simulación de la espectroscopia no lineal de imanes cuánticos . ^{[ 11 ]}

Existen numerosos paquetes de software que implementan la diagonalización exacta de hamiltonianos cuánticos. Entre ellos se incluyen ALPS , DoQo , EdLib , edrixs , Quanty y muchos otros.

Los resultados de diagonalización exacta de muchos clústeres pequeños se pueden combinar para obtener información más precisa sobre los sistemas en el límite termodinámico utilizando la expansión numérica de clústeres enlazados . ^{[ 12 ]}

• Algoritmo de Lanczos

• Simulación cuántica/diagonalización exacta
• Tutorial completo de diagonalización de ALPS. Archivado el 23/07/2019 en Wayback Machine.
• Diagonalización exacta y método de Lanczos en E. Pavarini, E. Koch y S. Zhang (eds.): Métodos de muchos cuerpos para materiales reales, Jülich 2019, ISBN 978-3-95806-400-3