Divisor excepcional

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un divisor excepcional para un mapa regular

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

de variedades es una especie de subvariedad 'grande' de${\displaystyle X}$que es 'aplastado' por${\displaystyle f}$, en cierto sentido definido. Más estrictamente, f tiene un lugar excepcional asociado que describe cómo identifica puntos cercanos en codimensión uno, y el divisor excepcional es una construcción algebraica apropiada cuyo soporte es el lugar excepcional. Las mismas ideas se pueden encontrar en la teoría de aplicaciones holomorfas de variedades complejas .

Más precisamente, supongamos que

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

es un mapa regular de variedades que es birracional (es decir, es un isomorfismo entre subconjuntos abiertos de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$). Una subvariedad de codimensión-1${\displaystyle Z\subset X}$Se dice que es excepcional si${\displaystyle f(Z)}$tiene codimensión al menos 2 como una subvariedad de${\displaystyle Y}$. Entonces se puede definir el divisor excepcional de${\displaystyle f}$ser

${\displaystyle \sum _{i}Z_{i}\in Div(X),}$

donde la suma se realiza sobre todas las subvariedades excepcionales de${\displaystyle f}$y es un elemento del grupo de divisores de Weil en${\displaystyle X}$.

La consideración de divisores excepcionales es crucial en geometría birracional : un resultado elemental (véase, por ejemplo, Shafarevich, II.4.4) muestra (bajo supuestos adecuados) que cualquier aplicación regular birracional que no sea un isomorfismo tiene un divisor excepcional. Un ejemplo particularmente importante es la explosión.

${\displaystyle \sigma$ :{\tilde {X}}\rightarrow X}

de una subvariedad

${\displaystyle W\subset X}$:

en este caso el divisor excepcional es exactamente la preimagen de${\displaystyle W}$.

• Shafarevich, Igor (1994). Geometría algebraica básica, vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 3-540-54812-2.