Agotamiento por conjuntos compactos

En matemáticas , especialmente en topología general y análisis , un agotamiento por conjuntos compactos ^{[ 1 ]} de un espacio topológico${\displaystyle X}$es una secuencia anidada de subconjuntos compactos${\displaystyle K_{i}}$de${\displaystyle X}$(es decir${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$), de tal manera que cada${\displaystyle K_{i}}$está contenido en el interior de${\displaystyle K_{i+1}}$, es decir${\displaystyle K_{i}\subset {\text{int}}(K_{i+1})}$, y${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$.

Un espacio que admite un agotamiento por conjuntos compactos se denomina agotable por conjuntos compactos . ^{[ 2 ]}

Como ejemplo, para el espacio${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$, la secuencia de bolas cerradas${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}}$forma un agotamiento del espacio mediante conjuntos compactos.

Existe una condición más débil que elimina el requisito de que${\displaystyle K_{i}}$está en el interior de${\displaystyle K_{i+1}}$, lo que significa que el espacio es σ-compacto (es decir, una unión numerable de subconjuntos compactos).

Si existe un agotamiento por conjuntos compactos, el espacio es necesariamente localmente compacto (si es de Hausdorff). Lo contrario también suele ser cierto. Por ejemplo, para un espacio de Hausdorff localmente compacto${\displaystyle X}$que es una unión numerable de subconjuntos compactos, podemos construir un agotamiento de la siguiente manera. Escribimos${\displaystyle X=\bigcup _{1}^{\infty }K_ {n}}$como unión de conjuntos compactos${\displaystyle K_{n}}$Luego, elijamos inductivamente conjuntos abiertos${\displaystyle V_{n}\supset {\overline {V_{n-1}}}\cup K_{n}}$con cierres compactos, donde${\displaystyle V_{0}=\emptyset}$. Entonces${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$es un agotamiento necesario.

Para un espacio de Hausdorff localmente compacto que sea segundo numerable, se puede utilizar un argumento similar para construir un agotamiento.

Para un espacio Hausdorff${\displaystyle X}$, un agotamiento por conjuntos compactos puede usarse para mostrar que el espacio es paracompacto. ^{[ 3 ]} De hecho, supongamos que tenemos una secuencia creciente${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$de subconjuntos abiertos tales que${\displaystyle X=\bigcup V_ {n}}$y cada uno${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$es compacto y está contenido en${\displaystyle V_{n+1}}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser una cubierta abierta de${\displaystyle X}$También dejamos${\displaystyle V_{n}=\emptyset ,\,n\leq 0}$. Luego, para cada${\displaystyle n\geq 1}$,${\displaystyle \{(V_{n+1}-{\overline {V_{n-2}}})\cap U\mid U\in {\mathcal {U}}\}}$es una cubierta abierta del conjunto compacto${\displaystyle {\overline {V_ {n}}}-V_ {n-1}}$y, por lo tanto, admite una subcubierta finita${\displaystyle {\mathcal {V}}_{n}}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {V}}_{n}}$es un refinamiento localmente finito de${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Nota: La demostración muestra que cada cubierta abierta admite un refinamiento numerable que consiste en conjuntos abiertos con clausuras compactas y cada uno de cuyos miembros interseca solo a un número finito de otros. ^{[ 3 ]}

También se cumple el siguiente tipo de recíproco. Un espacio de Hausdorff localmente compacto paracompacto con una cantidad numerable de componentes abiertas conexas es una unión numerable de conjuntos compactos ^{[ 4 ]} y, por lo tanto, admite un agotamiento por subconjuntos compactos.

Las siguientes expresiones son equivalentes para un espacio topológico.${\displaystyle X}$: ^{[ 5 ]}

1. ${\displaystyle X}$es agotable por conjuntos compactos.
2. ${\displaystyle X}$es σ-compacto y débilmente localmente compacto .
3. ${\displaystyle X}$es Lindelöf y débilmente compacta localmente.

(donde débilmente localmente compacto significa localmente compacto en el sentido débil de que cada punto tiene un vecindario compacto ).

La propiedad hemicompacta es intermedia entre agotable por conjuntos compactos y σ-compacto. Todo espacio agotable por conjuntos compactos es hemicompacto ^{[ 6 ]} y todo espacio hemicompacto es σ-compacto, pero las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, el espacio de Arens-Fort y el espacio de Appert son hemicompactos, pero no agotables por conjuntos compactos (porque no son débilmente localmente compactos) ^{[ 7 ]} , y el conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales con la topología usual es σ-compacto, pero no hemicompacto. ^{[ 8 ]}

Todo espacio de Hausdorff regular que sea una unión numerable de conjuntos compactos es paracompacto .

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• "Agotamiento por conjuntos compactos" . PlanetMath .
• "Existencia de agotamiento por conjuntos compactos" . Mathematics Stack Exchange .