Álgebra experimental

En matemáticas, un álgebra exponencial es un álgebra de Hopf Exp( G ) construida a partir de un grupo abeliano G , y es el anillo universal R tal que existe una aplicación exponencial de G al grupo de las series de potencias formales en R [[ t ]] con término constante 1. En otras palabras, el functor Exp de grupos abelianos a anillos conmutativos es adjunto al functor de anillos conmutativos a grupos abelianos que lleva un anillo al grupo de series de potencias formales con término constante 1.  

La definición del anillo exponencial de G es similar a la del anillo de grupo Z [ G ] de G , que es el anillo universal tal que existe un homomorfismo exponencial del grupo a sus unidades. En particular, existe un homomorfismo natural del anillo de grupo a una completación del anillo exponencial. Sin embargo, en general, el anillo exponencial puede ser mucho mayor que el anillo de grupo: por ejemplo, el anillo de grupo de los enteros es el anillo de polinomios de Laurent en una variable, mientras que el anillo exponencial es un anillo de polinomios con un número numerable de generadores.

Para cada elemento g de G, introduzca un conjunto numerable de variables g _i para i >0. Defina exp( gt ) como la serie de potencias formal en t

${\displaystyle \exp(gt)=1+g_{1}t+g_{2}t^{2}+g_{3}t^{3}+\cdots .}$

El anillo exp de G es el anillo conmutativo generado por todos los elementos g _i con las relaciones

${\displaystyle \exp((g+h)t)=\exp(gt)\exp(ht)}$

para todo g , h en G ; en otras palabras, los coeficientes de cualquier potencia de t en ambos lados están identificados.

El anillo Exp( G ) se puede convertir en un álgebra de Hopf conmutativa y coconmutativa de la siguiente manera. El coproducto de Exp( G ) se define de modo que todos los elementos exp( gt ) sean de tipo grupo. El antípoda se define haciendo que exp(–gt ) sea el antípoda de exp( gt ). La counidad toma todos los generadores g _i a 0.

Hoffman (1983) demostró que Exp( G ) tiene la estructura de un anillo λ .

• El anillo exp de un grupo cíclico infinito como los enteros es un anillo de polinomios en un número contable de generadores g _i donde g es un generador del grupo cíclico. Este anillo (o álgebra de Hopf) es naturalmente isomorfo al anillo de funciones simétricas (o al álgebra de Hopf de funciones simétricas ).
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni y V. V. Kirichenko ( 2010 ) sugieren que podría ser interesante extender la teoría a grupos no conmutativos G. 

• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  168, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR 2724822 , Zbl 1211.16023  
• Hoffman, P. (1983), "Mapas exponenciales y anillos λ", J. Pure Appl. Algebra , 27 (2): 131– 162, doi : 10.1016/0022-4049(83)90011-7 , MR 0687747