Distribución exponencial-logarítmica

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución exponencial-logarítmica (EL) es una familia de distribuciones de duración de vida con una tasa de fallos decreciente , definida en el intervalo [0, ∞). Esta distribución está parametrizada por dos parámetros y . ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$

El estudio de la duración de la vida de organismos, dispositivos, materiales, etc., es de gran importancia en las ciencias biológicas y de ingeniería . En general, se espera que la vida útil de un dispositivo presente una tasa de fallas decreciente (DFR, por sus siglas en inglés) cuando su comportamiento a lo largo del tiempo se caracteriza por el "endurecimiento por trabajo" (en términos de ingeniería) o la "inmunidad" (en términos biológicos).

El modelo exponencial-logarítmico, junto con sus diversas propiedades, son estudiados por Tahmasbi y Rezaei (2008). ^[1] Este modelo se obtiene bajo el concepto de heterogeneidad poblacional (a través del proceso de composición).

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución EL está dada por Tahmasbi y Rezaei (2008) ^[1]

${\displaystyle f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$

donde y . Esta función es estrictamente decreciente en y tiende a cero cuando . La distribución EL tiene su valor modal de la densidad en x=0, dado por ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}}$

La EL se reduce a la distribución exponencial con parámetro de tasa , como . ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle p\rightarrow 1}$

La función de distribución acumulativa está dada por

${\displaystyle F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

y por lo tanto, la mediana viene dada por

${\displaystyle x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$.

La función generadora de momentos de se puede determinar a partir de la función de densidad de probabilidad mediante integración directa y se da por ${\displaystyle X}$

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),}$

donde es una función hipergeométrica . Esta función también se conoce como función hipergeométrica extendida de Barnes . La definición de es ${\displaystyle F_{2,1}}$${\displaystyle F_{N,D}({n,d},z)}$

${\displaystyle F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}}$

donde y . ${\displaystyle n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]}$${\displaystyle {d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]}$

Los momentos de se pueden derivar de . Para , los momentos brutos se dan por ${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{X}(t)}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},}$

donde es la función polilogaritmo que se define de la siguiente manera: ^[2]${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.}$

Por lo tanto, la media y la varianza de la distribución EL se dan, respectivamente, por

${\displaystyle E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.}$

La función de supervivencia (también conocida como función de confiabilidad) y la función de riesgo (también conocida como función de tasa de falla) de la distribución EL se dan, respectivamente, por

${\displaystyle s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

${\displaystyle h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.}$

La vida útil residual media de la distribución EL viene dada por

${\displaystyle m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}}$

¿Dónde está la función dilogaritmo?${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$

Sea U una variable aleatoria de la distribución uniforme estándar . Entonces, la siguiente transformación de U tiene la distribución EL con parámetros p y  β :

${\displaystyle X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).}$

Para estimar los parámetros se utiliza el algoritmo EM . Este método es analizado por Tahmasbi y Rezaei (2008). ^[1] La iteración EM está dada por

${\displaystyle \beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.}$

La distribución EL se ha generalizado para formar la distribución logarítmica de Weibull. ^[3]

Si X se define como la variable aleatoria que es el mínimo de N realizaciones independientes de una distribución exponencial con parámetro de velocidad β , y si N es una realización de una distribución logarítmica (donde el parámetro p en la parametrización habitual se reemplaza por (1 −  p ) ), entonces X tiene la distribución exponencial-logarítmica en la parametrización utilizada anteriormente.