Teorema de desplazamiento

En matemáticas , el teorema del desplazamiento (exponencial) es un teorema sobre operadores diferenciales polinomiales ( operadores D ) y funciones exponenciales . Permite eliminar, en ciertos casos, la exponencial de los operadores D.

El teorema establece que, si P ( D ) es un polinomio del operador D , entonces, para cualquier función suficientemente diferenciable y ,

${\displaystyle P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.}$

Para demostrar el resultado, proceda por inducción . Nótese que solo el caso especial

${\displaystyle P(D)=D^{n}}$

Es necesario demostrarlo, ya que el resultado general se deduce entonces de la linealidad de los operadores D.

El resultado es claramente cierto para n = 1 ya que

${\displaystyle D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.}$

Ahora supongamos que el resultado es cierto para n  = k , es decir, 

${\displaystyle D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}}$

Con esto concluye la demostración.

El teorema de desplazamiento se puede aplicar igualmente bien a los operadores inversos:

${\displaystyle {\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.}$

Existe una versión similar del teorema de desplazamiento para las transformadas de Laplace (${\displaystyle t<a}$):

${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(ta)\}.}$

El teorema del desplazamiento exponencial se puede utilizar para acelerar el cálculo de derivadas de orden superior de funciones que se obtienen mediante el producto de una exponencial y otra función. Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)=\sin(x)e^{x}}$, uno tiene eso

$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{3}f&=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{aligned}}}$$

Otra aplicación del teorema del desplazamiento exponencial es la resolución de ecuaciones diferenciales lineales cuyo polinomio característico tiene raíces repetidas. ^{[ 1 ]}

• Morris, Tenenbaum; Pollard, Harry (1985). Ecuaciones diferenciales ordinarias  : un libro de texto elemental para estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0486649407OCLC 12188701​​