Estabilidad exponencial

En teoría de control , un sistema lineal continuo invariante en el tiempo (LTI) es exponencialmente estable si y solo si el sistema tiene valores propios (es decir, los polos de los sistemas de entrada a salida) con partes reales estrictamente negativas (es decir, en la mitad izquierda del plano complejo ). ^{[ 1 ]} Un sistema LTI de entrada a salida de tiempo discreto es exponencialmente estable si y solo si los polos de su función de transferencia se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Los sistemas que no son LTI son exponencialmente estables si su convergencia está limitada por un decaimiento exponencial . La estabilidad exponencial es una forma de estabilidad asintótica , válida para sistemas dinámicos más generales .

Considere el sistema $${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),\ x(t_{0})=x_{0},}$$ dónde${\textstyle f}$es continuo por partes en${\textstyle t}$y Lipschitz en${\textstyle x}$Supongamos sin pérdida de generalidad que${\textstyle f}$tiene un equilibrio en el origen${\textstyle x=0}$Este equilibrio es exponencialmente estable si existen${\textstyle c,k,\lambda >0}$de tal manera que $${\displaystyle \|x(t)\|\leq k\|x(t_{0})\|e^{-\lambda (t-t_{0})},}$$ a pesar de${\textstyle \|x(t_{0})\|<c}$. ^{[ 2 ]} Es decir, la solución${\textstyle x(t)}$muestra una tasa de decaimiento exponencial.

Un sistema LTI exponencialmente estable es aquel que no "explotará" (es decir, no dará una salida ilimitada) cuando se le da una entrada finita o una condición inicial distinta de cero. Además, si al sistema se le da una entrada fija y finita (es decir, un escalón ), entonces cualquier oscilación resultante en la salida decaerá a una tasa exponencial , y la salida tenderá asintóticamente a un nuevo valor final de estado estacionario. Si en cambio al sistema se le da un impulso delta de Dirac como entrada, entonces las oscilaciones inducidas desaparecerán y el sistema volverá a su valor anterior. Si las oscilaciones no desaparecen, o el sistema no vuelve a su salida original cuando se aplica un impulso, el sistema es marginalmente estable .

El gráfico de la derecha muestra la respuesta impulsional de dos sistemas similares. La curva verde es la respuesta del sistema con respuesta impulsional.${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}}$, mientras que el azul representa el sistema${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)}$Aunque una de las respuestas es oscilatoria, ambas vuelven al valor original de 0 con el tiempo.

• Estabilidad marginal
• Teoría de control
• Espacio de estados (controles)

• Estimación de parámetros y estabilidad asintótica en el filtrado estocástico , Anastasia Papavasiliou*, 28 de septiembre de 2004