Programación matemática extendida

Se han desarrollado lenguajes de modelado algebraico como AIMMS , AMPL , GAMS , MPL y otros para facilitar la descripción de un problema en términos matemáticos y vincular la formulación abstracta con sistemas de gestión de datos, por un lado, y algoritmos apropiados para su solución, por otro. Se han desarrollado algoritmos robustos e interfaces de lenguajes de modelado para una gran variedad de problemas de programación matemática, como programas lineales (PL), programas no lineales (PN), programas de enteros mixtos (PIM), programas de complementariedad mixta (PCM) y otros. Los investigadores actualizan constantemente los tipos de problemas y algoritmos que desean utilizar para modelar en aplicaciones de dominio específicas.

La Programación Matemática Extendida ( EMP ) es una extensión de los lenguajes de modelado algebraico que facilita la reformulación automática de nuevos tipos de modelos al convertir el modelo EMP en clases de programación matemática establecidas para su resolución mediante algoritmos de resolución avanzados. Se pueden resolver diversas clases de problemas importantes. Algunos ejemplos específicos son las desigualdades variacionales , los equilibrios de Nash , los programas disyuntivos y los programas estocásticos .

EMP es independiente del lenguaje de modelado utilizado, pero actualmente solo está implementado en GAMS. Los nuevos tipos de problemas modelados con EMP se reformulan con el solucionador JAMS de GAMS a tipos de problemas bien establecidos, y los modelos reformulados se pasan a un solucionador GAMS adecuado para su resolución. El núcleo de EMP es un archivo llamado emp.info, donde se añaden al modelo las anotaciones necesarias para las reformulaciones.

Los problemas de equilibrio modelan cuestiones que surgen en el estudio de los equilibrios económicos de forma matemáticamente abstracta. Entre los problemas de equilibrio se incluyen las desigualdades variacionales, los problemas con equilibrios de Nash y los problemas de optimización múltiple con restricciones de equilibrio (MOPEC). Utilice las palabras clave de EMP para reformular estos problemas como problemas de complementariedad mixta (MCP), una clase de problemas para los que existe tecnología de resolución avanzada. Resuelva la versión reformulada del problema con palabras clave de EMP utilizando el solucionador PATH u otros solucionadores de MCP de GAMS .

Ejemplos del uso de EMP para resolver problemas de equilibrio incluyen el cálculo de equilibrios de Cournot-Nash-Walras, ^{[ 1 ]} modelado de asignación de agua, ^{[ 2 ] [ 3 ]} planificación a largo plazo de la expansión de líneas de transmisión de la red eléctrica, ^{[ 4 ]} modelado de agentes aversos al riesgo en mercados de electricidad hidrotermal con entradas inciertas a embalses hidroeléctricos ^{[ 5 ]} y modelado de desigualdades variacionales en mercados de energía ^{[ 6 ]}

Los problemas de optimización jerárquica son programas matemáticos con un problema de optimización adicional en sus restricciones. Un ejemplo sencillo es el problema de programación de dos niveles , que optimiza un objetivo de nivel superior sobre restricciones que incluyen otro problema de optimización de nivel inferior. La programación de dos niveles se utiliza en muchas áreas. Un ejemplo es el diseño de instrumentos fiscales óptimos. El instrumento fiscal se modela en el nivel superior y el mercado de compensación se modela en el nivel inferior. En general, el problema de nivel inferior puede ser un problema de optimización o una desigualdad variacional . Se proporcionan varias palabras clave para facilitar la reformulación de problemas de optimización jerárquica. Los problemas de optimización de dos niveles modelados con EMP se reformulan como programas matemáticos con restricciones de equilibrio (MPEC) y luego se resuelven con uno de los solucionadores MPEC de GAMS (NLPEC o KNITRO ).

Los programas matemáticos que involucran variables binarias y definiciones de disyunción para modelar decisiones discretas se denominan programas disyuntivos. Estos programas tienen numerosas aplicaciones, como la ordenación de tareas en un proceso de producción, la organización de proyectos complejos para ahorrar tiempo y la selección de la ruta óptima en un circuito. En EMP se implementan procedimientos para extensiones de programación disyuntiva lineal y no lineal. Los programas disyuntivos lineales se reformulan como programas de enteros mixtos (MIP) y los programas disyuntivos no lineales como programas no lineales de enteros mixtos (MINLP). Se resuelven con el solucionador LogMIP 2.0 y posiblemente con otros subsolucionadores de GAMS.

Ejemplos del uso de EMP para programación disyuntiva incluyen problemas de programación en la industria química ^{[ 7 ].}

EMP SP es la extensión estocástica del marco EMP. Un modelo determinista con parámetros fijos se transforma en un modelo estocástico donde algunos parámetros no son fijos, sino que se representan mediante distribuciones de probabilidad. Esto se realiza con anotaciones y palabras clave específicas. Son posibles distribuciones de probabilidad discretas y paramétricas, tanto individuales como conjuntas . Además, existen palabras clave para el valor esperado , el valor en riesgo (VaR) y el valor en riesgo condicional (CVaR). Las variables que son medidas de riesgo pueden aparecer en la ecuación objetivo o en las restricciones. EMP SP facilita la optimización de una medida de riesgo individual o una combinación de medidas de riesgo (por ejemplo, la suma ponderada del valor esperado y el CVaR). Además, el modelador puede optar por intercambiar medidas de riesgo. También es posible modelar restricciones que solo se cumplen con ciertas probabilidades (restricciones de probabilidad). Actualmente, los siguientes solucionadores GAMS pueden utilizarse con EMP SP: DE, DECIS, JAMS y LINDO . Se puede utilizar cualquier solucionador GAMS para procesar el problema equivalente determinista premuestreado .

• Lenguaje de modelado algebraico
• Teoría de la complementariedad
• Sistema general de modelado algebraico – GAMS
• SAMPL – extensión estocástica de AMPL

• www.gams.com