Extensión de un grupo topológico

En matemáticas , más específicamente en grupos topológicos , una extensión de grupos topológicos , o una extensión topológica , es una secuencia exacta corta donde y son grupos topológicos y y son homomorfismos continuos que también están abiertos a sus imágenes. ^[1] Toda extensión de grupos topológicos es, por lo tanto, una extensión de grupo . ${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$${\estilo de visualización H,X}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización \pi}$

Decimos que las extensiones topológicas

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

y

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi '}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo topológico que hace conmutativo el diagrama de la Figura 1. ${\displaystyle T:X\a X'}$

Decimos que la extensión topológica

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

es una extensión dividida (o divididas) si es equivalente a la extensión trivial

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i_{H}}{\rightarrow }}H\times G{\stackrel {\pi _{G}}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

donde es la inclusión natural sobre el primer factor y es la proyección natural sobre el segundo factor. ${\displaystyle i_{H}:H\to H\times G}$${\displaystyle \pi _{G}:H\veces G\a G}$

Es fácil demostrar que la extensión topológica se divide si y sólo si hay un homomorfismo continuo tal que es la función identidad en${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle R:X\flecha derecha H}$${\displaystyle R\circ i}$${\displaystyle H}$

Nótese que la extensión topológica se divide si y solo si el subgrupo es un sumando directo topológico de${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle i(H)}$${\displaystyle X}$

• Tome los números reales y los números enteros . Tome la inclusión natural y la proyección natural. Luego${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \imath }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath }{\to }}\mathbb {R} {\stackrel {\pi }{\to }}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0}$

es una extensión de los grupos abelianos topológicos. De hecho, es un ejemplo de una extensión no desdoblable.

Una extensión de los grupos abelianos topológicos será una secuencia exacta corta donde y son grupos abelianos localmente compactos y y son homomorfismos continuos relativamente abiertos. ^[2]${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$${\displaystyle H,X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi }$

• Sea una extensión de grupos abelianos localmente compactos

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0.}$

Tome y los duales de Pontryagin de y y tome y las aplicaciones duales de y . Entonces la secuencia ${\displaystyle H^{\wedge },X^{\wedge }}$${\displaystyle G^{\wedge }}$${\displaystyle H,X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i^{\wedge }}$${\displaystyle \pi ^{\wedge }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to G^{\wedge }{\stackrel {\pi ^{\wedge }}{\to }}X^{\wedge }{\stackrel {\imath ^{\wedge }}{\to }}H^{\wedge }\to 0}$

es una extensión de grupos abelianos localmente compactos.

Un tipo muy especial de extensiones topológicas son aquellas de la forma donde es el círculo unitario y y son grupos abelianos topológicos. ^[3]${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Un grupo abeliano topológico pertenece a la clase si y solo si cada extensión topológica de la forma se divide ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

• Todo grupo abeliano localmente compacto pertenece a . En otras palabras, toda extensión topológica donde es un grupo abeliano localmente compacto, se divide.${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle G}$

• Cada grupo abeliano localmente precompacto pertenece a .${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$

• El espacio de Banach (y en particular el grupo abeliano topológico) no pertenece a .${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$