Topología de extensión

En topología , una rama de las matemáticas, una topología de extensión es una topología definida sobre la unión disjunta de un espacio topológico y otro conjunto . Existen diversos tipos de topología de extensión, descritos en las secciones siguientes.

Sea X un espacio topológico y P un conjunto disjunto de X. Consideremos en X  ∪ P la topología cuyos conjuntos abiertos son de la forma A ∪ Q , donde A es un conjunto abierto de X y Q es un subconjunto de P.   

Los conjuntos cerrados de X  ∪ P son de la forma B ∪ Q , donde B es un conjunto cerrado de X y Q es un subconjunto de P.   

Por estas razones, esta topología se denomina topología de extensión de X más P , con la cual se extienden a X  ∪ P los conjuntos abiertos y cerrados de X. Como subconjuntos de X ∪ P, la topología de subespacio de X es la topología original de X , mientras que la topología de subespacio de P es la topología discreta . Como espacio topológico, X ∪ P es homeomorfo a la suma topológica de X y P , y X es un subconjunto abierto y cerrado de X ∪ P.       

Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión de Y – R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es en general no.

Nótese la similitud de esta construcción de topología de extensión y la compactificación de un punto de Alexandroff , en cuyo caso, teniendo un espacio topológico X que se desea compactificar agregando un punto ∞ en el infinito, se consideran los conjuntos cerrados de X  ∪  {∞} como los conjuntos de la forma K , donde K es un conjunto compacto cerrado de X , o B  ∪  {∞}, donde B es un conjunto cerrado de X.

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$sea ​​un espacio topológico y${\displaystyle P}$un conjunto disjunto de${\displaystyle X}$. La topología de extensión abierta de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$más${\displaystyle P}$es $${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}={\mathcal {T}}\cup \{X\cup A:A\subset P\}.}$$Dejar${\displaystyle X^{*}=X\cup P}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}}$es una topología en${\displaystyle X^{*}}$. La topología del subespacio de${\displaystyle X}$es la topología original de${\displaystyle X}$, es decir${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}|X={\mathcal {T}}}$, mientras que la topología del subespacio de${\displaystyle P}$es la topología discreta, es decir${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}|P={\mathcal {P}}(P)}$.

Los conjuntos cerrados en${\displaystyle X^{*}}$son${\displaystyle \{B\cup P:X\subset B\land X\setminus B\in {\mathcal {T}}\}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle P}$está cerrado en${\displaystyle X^{*}}$y${\displaystyle X}$es abierto y denso en${\displaystyle X^{*}}$.

Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión abierta de Y – R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es en general no.

Tenga en cuenta que la topología de extensión abierta de${\displaystyle X^{*}}$es más pequeño que la topología de extensión de${\displaystyle X^{*}}$.

Arrogante${\displaystyle X}$y${\displaystyle P}$No están vacíos para evitar trivialidades, aquí hay algunas propiedades generales de la topología de extensión abierta: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle X}$es denso en${\displaystyle X^{*}}$.
• Si${\displaystyle P}$es finito,${\displaystyle X^{*}}$es compacto . Entonces${\displaystyle X^{*}}$es una compactificación de${\displaystyle X}$en ese caso.
• ${\displaystyle X^{*}}$está conectado .
• Si${\displaystyle P}$tiene un solo punto,${\displaystyle X^{*}}$está ultraconectado .

Para un conjunto Z y un punto p en Z , se obtiene la construcción de la topología de punto excluido considerando en Z la topología discreta y aplicando la construcción de la topología de extensión abierta a Z – { p } más p .

Sea X un espacio topológico y P un conjunto disjunto de X. Consideremos en X  ∪ P la topología cuyos conjuntos cerrados son de la forma X ∪ Q , donde Q es un subconjunto de P , o B , donde B es un conjunto cerrado de X.   

Por esta razón, esta topología se denomina topología de extensión cerrada de X más P , con la cual se extienden a X  ∪ P los conjuntos cerrados de X. Como subconjuntos de X ∪ P, la topología de subespacio de X es la topología original de X , mientras que la topología de subespacio de P es la topología discreta.   

Los conjuntos abiertos de X  ∪ P son de la forma Q , donde Q es un subconjunto de P , o A ∪ P , donde A es un conjunto abierto de X . Nótese que P es abierto en X ∪ P y X es cerrado en X ∪ P .       

Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión cerrada de Y – R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es en general no.

Nótese que la topología de extensión cerrada de X  ∪ P es más pequeña que la topología de extensión de X ∪ P.   

Para un conjunto Z y un punto p en Z , se obtiene la construcción de topología de punto particular considerando en Z la topología discreta y aplicando la construcción de topología de extensión cerrada a Z – { p } más p .