Extensionalidad

En lógica , la extensionalidad , o igualdad extensional , se refiere a los principios que determinan si dos objetos son iguales si poseen las mismas propiedades externas. Contrasta con el concepto de intensionalidad, que se centra en si las definiciones internas de los objetos son las mismas.

La definición extensional de igualdad de funciones, analizada anteriormente, se utiliza comúnmente en matemáticas. Una definición extensional similar se emplea habitualmente para las relaciones : se dice que dos relaciones son iguales si tienen las mismas extensiones .

En la teoría de conjuntos , el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismos elementos. En las matemáticas formalizadas en la teoría de conjuntos, es común identificar las relaciones —y , sobre todo, las funciones— con su extensión, como se indicó anteriormente, de modo que resulta imposible distinguir entre dos relaciones o funciones con la misma extensión.

Otros objetos matemáticos también se construyen de tal manera que la noción intuitiva de "igualdad" coincide con la igualdad extensional a nivel de conjunto; así, los pares ordenados iguales tienen elementos iguales, y los elementos de un conjunto que están relacionados por una relación de equivalencia pertenecen a la misma clase de equivalencia .

Los fundamentos de las matemáticas basados ​​en la teoría de tipos generalmente no son extensionales en este sentido, y los setoides se utilizan comúnmente para mantener una diferencia entre la igualdad intensional y una relación de equivalencia más general (que generalmente tiene propiedades de constructibilidad o decidibilidad deficientes ).

En matemáticas existen diversos principios de extensionalidad.

• Extensionalidad proposicional de los predicados${\displaystyle P,Q}$: si${\displaystyle P\iff Q}$entonces${\displaystyle P=Q}$
• Extensionismo funcional de las funciones${\displaystyle f,g}$: si${\displaystyle \forall x,fx=gx}$entonces${\displaystyle f=g}$
• Univalencia de tipos${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$: ^{[ 1 ] : 2.10} si ${\displaystyle A\simeq B}$entonces${\displaystyle A=B}$, dónde${\displaystyle \simeq }$denota equivalencia homotópica.

Dependiendo del fundamento elegido, algunos principios de extensionalidad pueden implicar otros. Por ejemplo, es bien sabido que en los fundamentos univalentes , el axioma de univalencia implica tanto extensionalidad proposicional como funcional. Los principios de extensionalidad suelen asumirse como axiomas, especialmente en teorías de tipos donde debe preservarse el contenido computacional. Sin embargo, en la teoría de conjuntos y otros fundamentos extensionales, se puede demostrar que la extensionalidad funcional se cumple por defecto.

Consideremos las dos funciones f y g que mapean desde y hacia números naturales , definidas de la siguiente manera:

• Para hallar f ( n ), primero suma 5 a n y luego multiplica por 2.
• Para hallar g ( n ), primero multiplica n por 2 y luego suma 10.

Estas funciones son extensionalmente iguales; con la misma entrada, ambas siempre producen el mismo valor. Sin embargo, sus definiciones no son iguales, y en ese sentido intensional, las funciones no son idénticas.

De manera similar, en el lenguaje natural existen muchos predicados (relaciones) que son intensionalmente diferentes pero extensionalmente idénticos. Por ejemplo, supongamos que en un pueblo solo hay una persona llamada Joe, quien además es la persona de mayor edad del pueblo. Entonces, los dos predicados "llamarse Joe" y "ser la persona de mayor edad" son intensionalmente distintos, pero extensionalmente iguales para la población (actual) de este pueblo.

• Identidad de los indiscernibles
• Igualdad de Kleene
• teoría de tipos
• axioma de univalencia

• Marcus, Ruth Barcan (enero de 1960). "Extensionality" . Mind . 69 (273): 55– 62. doi : 10.1093/mind/LXIX.273.55 . ISSN 0026-4423 . JSTOR 2251588 .  
• Sagi, Gil (29 de mayo de 2017). «Extensionalidad y lógica» . Synthese . 198 (5): 1095–1119 . doi : 10.1007/s11229-017-1447-3 . ISSN 1573-0964 . Archivado del original el 6 de diciembre de 2017. 
• Carnap, Rudolf (1943). Formalización de la lógica . Estudios en semántica. Vol.  II. Harvard University Press .
• Lógica intensional (Enciclopedia de filosofía de Stanford)
• igualdad en nLab