Ideal diferencial

En la teoría de formas diferenciales , un ideal diferencial I es un ideal algebraico en el anillo de formas diferenciales suaves en una variedad suave , en otras palabras un ideal graduado en el sentido de la teoría de anillos , que además es cerrado bajo la diferenciación exterior d , lo que significa que para cualquier forma α en I , la derivada exterior d α también está en I.

En la teoría del álgebra diferencial , un ideal diferencial I en un anillo diferencial R es un ideal que es mapeado a sí mismo por cada operador diferencial.

Un sistema diferencial exterior consta de un colector liso${\displaystyle M}$y un ideal diferencial

${\displaystyle I\subset \Omega ^{*}(M)}$.

Un colector integral de un sistema diferencial exterior${\displaystyle (M,I)}$consta de una subvariedad${\displaystyle N\subset M}$tener la propiedad de que el retroceso a${\displaystyle N}$de todas las formas diferenciales contenidas en${\displaystyle I}$desaparece de forma idéntica.

Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales parciales puede expresarse como un sistema diferencial exterior con condición de independencia. Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de orden k para mapas${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$, dado por

${\displaystyle F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$.

El gráfico de la${\displaystyle k}$-chorro${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$de cualquier solución de este sistema de ecuaciones diferenciales parciales es una subvariedad${\displaystyle N}$del espacio del chorro , y es un colector integral del sistema de contacto.${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$en el${\displaystyle k}$-paquete jet.

Esta idea permite analizar las propiedades de las ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos de geometría diferencial. Por ejemplo, podemos aplicar el teorema de Cartan-Kähler a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales escribiendo el sistema diferencial exterior asociado. Con frecuencia, podemos aplicar el método de equivalencia de Cartan a sistemas diferenciales exteriores para estudiar sus simetrías y sus invariantes de difeomorfismo.

Un ideal diferencial${\displaystyle I\,}$es perfecto si tiene la propiedad de que si contiene un elemento${\displaystyle a\in I}$entonces contiene cualquier elemento${\displaystyle b\in I}$de tal manera que${\displaystyle b^{n}=a}$para algunos${\displaystyle n>0\,}$En otras palabras, los ideales diferenciales perfectos son ideales diferenciales radicales .

• Robert Bryant , Phillip Griffiths y Lucas Hsu, Hacia una geometría de ecuaciones diferenciales (archivo DVI), en Geometría, Topología y Física, Actas de la Conferencia, Notas de Conferencia, Geometría y Topología, editado por S.-T. Yau , vol. IV (1995), págs.  1-76, Internat. Press, Cambridge, MA
• Robert Bryant , Shiing-Shen Chern , Robert Gardner , Phillip Griffiths , Hubert Goldschmidt, Sistemas diferenciales exteriores , Springer--Verlag, Heidelberg, 1991.
• Thomas A. Ivey, J. M. Landsberg, Cartan para principiantes . Geometría diferencial mediante marcos móviles y sistemas diferenciales exteriores. Segunda edición. Estudios de posgrado en matemáticas, 175. Sociedad Matemática Americana, Providence, Rhode Island, 2016.
• HW Raudenbush, Jr. "Teoría ideal y ecuaciones diferenciales algebraicas", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 36, n.º 2 (abril de 1934), págs.  361-368. URL estable:doi : 10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• JF Ritt , Álgebra diferencial , Dover, Nueva York, 1950.