Execante

La función secante externa (abreviada exsecante , simbolizada exsec ) es una función trigonométrica definida en términos de la función secante :$${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.}$$

Fue introducido en 1855 por el ingeniero civil estadounidense Charles Haslett , quien lo utilizó junto con la función de versina existente,${\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta }$, para diseñar y medir secciones circulares de vías férreas . ^{[ 3 ]} Fue adoptada por topógrafos e ingenieros civiles en los Estados Unidos para el diseño de ferrocarriles y carreteras , y desde principios del siglo XX se ha mencionado brevemente en ocasiones en libros de texto de trigonometría estadounidenses y manuales de ingeniería de propósito general. ^{[ 4 ]} Para mayor exhaustividad, algunos libros también definieron una función cosecante o excosecante (simbolizada coexsec o excsc ),${\displaystyle \operatorname {coexsec} \theta ={}}$${\displaystyle \csc \theta -1}$, la secante del ángulo complementario , ^{[ 5 ] [ 6 ]} aunque no se usó en la práctica. Si bien la secante ha encontrado ocasionalmente otras aplicaciones, hoy en día es oscura y principalmente de interés histórico. ^{[ 7 ]}

Como segmento de recta , la secante externa de un círculo tiene un extremo en la circunferencia y se extiende radialmente hacia afuera. La longitud de este segmento es igual al radio del círculo multiplicado por la secante trigonométrica del ángulo central entre el extremo interior del segmento y el punto de tangencia de una recta que pasa por el extremo exterior y es tangente al círculo.

La palabra secante proviene del latín y significa "cortar". Una línea secante general "corta" un círculo, intersecándolo dos veces; este concepto se remonta a la antigüedad y se encuentra en el Libro 3 de los Elementos de Euclides , donde se utiliza, por ejemplo, en el teorema de las secantes intersecantes . Fuentes del siglo XVIII en latín denominaban secante exterior a cualquier segmento de línea no tangencial externo a un círculo con un extremo en la circunferencia . ^{[ 8 ]}

La secante trigonométrica , denominada así por Thomas Fincke (1583), se basa más específicamente en un segmento de recta con un extremo en el centro de un círculo y el otro extremo fuera del círculo; el círculo divide este segmento en un radio y una secante externa. Galileo Galilei (1632) utilizó el segmento de la secante externa con el nombre de secante . ^{[ 9 ]}

En el siglo XIX, la mayoría de las vías férreas se construían a partir de arcos de círculo , denominados curvas simples . ^{[ 10 ]} Los topógrafos e ingenieros civiles que trabajaban para el ferrocarril necesitaban realizar muchos cálculos trigonométricos repetitivos para medir y planificar secciones circulares de vía. En topografía, y más generalmente en geometría práctica, se utilizaban tablas de funciones trigonométricas "naturales" y sus logaritmos comunes , según el cálculo específico. El uso de logaritmos convierte la costosa multiplicación de números de varias cifras en una suma más económica, y las versiones logarítmicas de las tablas trigonométricas ahorraban aún más trabajo al reducir la cantidad de consultas necesarias a las tablas. ^{[ 11 ]}

La secante externa o distancia externa de una sección de vía curva es la distancia más corta entre la vía y la intersección de las líneas tangentes desde los extremos del arco, que es igual al radio por la secante trigonométrica de la mitad del ángulo central subtendido por el arco,${\displaystyle R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta }$. ^{[ 12 ]} En comparación, el seno versado de una sección de vía curva es la distancia más lejana desde la cuerda larga (el segmento de línea entre los puntos extremos) hasta la vía ^{[ 13 ]} – cf. Sagitta – que es igual al radio por el versino trigonométrico de la mitad del ángulo central,${\displaystyle R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta }$Estas son cantidades naturales que se miden o calculan al medir arcos circulares, las cuales deben multiplicarse o dividirse posteriormente por otras cantidades. Charles Haslett (1855) descubrió que consultar directamente el logaritmo de la secante y el versino ahorraba un esfuerzo considerable y producía resultados más precisos en comparación con el cálculo de la misma cantidad a partir de valores encontrados en tablas trigonométricas previamente disponibles. [ ^{3 ] La} misma idea fue adoptada por otros autores, como Searles (1880). ^{[ 14 ]} Para 1913, el enfoque de Haslett estaba tan ampliamente adoptado en la industria ferroviaria estadounidense que, en ese contexto, "las tablas de secantes externas y senos versados ​​eran más comunes que las tablas de secantes". ^{[ 15 ]}

A finales del siglo XIX y durante el siglo XX, los ferrocarriles comenzaron a utilizar arcos de una espiral de Euler como curva de transición de vía entre tramos rectos o circulares de diferente curvatura. Estas curvas espirales pueden calcularse aproximadamente utilizando secantes y versinas. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Se requiere resolver el mismo tipo de problemas al realizar levantamientos topográficos de secciones circulares de canales ^{[ 17 ]} y carreteras, y el exsecante todavía se utilizaba en libros de mediados del siglo XX sobre levantamientos topográficos de carreteras. ^{[ 18 ]}

La exsecante se ha utilizado a veces para otras aplicaciones, como la teoría de haces ^{[ 19 ]} y la medición de profundidad con un cable. ^{[ 20 ]}

En los últimos años, la disponibilidad de calculadoras y computadoras ha eliminado la necesidad de tablas trigonométricas de funciones especializadas como esta. ^{[ 21 ]} La exsecante generalmente no está integrada directamente en calculadoras o entornos informáticos (aunque a veces se ha incluido en bibliotecas de software ), ^{[ 22 ]} y los cálculos en general son mucho más baratos que en el pasado, ya que no requieren un trabajo manual tedioso.

Evaluar ingenuamente las expresiones${\displaystyle 1-\cos \theta }$(versina) y${\displaystyle \sec \theta -1}$(exsecante) es problemático para ángulos pequeños donde${\displaystyle \sec \theta \approx \cos \theta \approx 1}$Calcular la diferencia entre dos cantidades aproximadamente iguales produce una cancelación catastrófica : debido a que la mayoría de los dígitos de cada cantidad son iguales, se cancelan en la resta, lo que produce un resultado de menor precisión .

Por ejemplo, la secante de 1° es aproximadamente1,000 152 , con los primeros dígitos desperdiciados en ceros, mientras que el logaritmo común de la secante de 1° es aproximadamente−3,817 220 , ^{[ 23 ]} cuyos dígitos son todos significativos. Si el logaritmo de la secante se calcula buscando la secante en una tabla trigonométrica de seis dígitos y luego restando 1 , la diferencia sec 1° − 1 ≈ 0,000 152 tiene solo 3 dígitos significativos , y después de calcular el logaritmo, solo tres dígitos son correctos, log(sec 1° − 1) ≈  −3,81 8 156 . ^{[ 24 ]} Para ángulos aún más pequeños, la pérdida de precisión es peor.

Si no se dispone de una tabla o una implementación informática de la función exsecante, la exsecante se puede calcular con precisión como${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$, o bien, usando versina,${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta }$, que a su vez puede calcularse como${\displaystyle \textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}={}}$${\displaystyle \sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$; Haslett utilizó estas identidades para calcular sus tablas de exsecante y versina de 1855. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Para un ángulo suficientemente pequeño, un arco circular tiene aproximadamente la forma de una parábola , y la versina y la secante son aproximadamente iguales entre sí y ambas proporcionales al cuadrado de la longitud del arco. ^{[ 27 ]}

• Cuerda (geometría) – Un segmento de línea cuyos extremos se encuentran en la circunferencia de un círculo, utilizado históricamente en trigonometría.
• Exponencial menos 1 – La función${\displaystyle x\mapsto e^{x}-1}$También se utiliza para mejorar la precisión en entradas pequeñas.