Proceso de Galton-Watson

El proceso de Galton-Watson , también llamado proceso de Bienaymé-Galton-Watson o proceso de ramificación de Galton-Watson , es un proceso estocástico ramificado que surge de la investigación estadística de Francis Galton sobre la extinción de los apellidos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El proceso modela los apellidos como patrilineales (transmitidos de padre a hijo), mientras que la descendencia es aleatoriamente masculina o femenina, y los apellidos se extinguen si la línea del apellido desaparece (los portadores del apellido mueren sin descendientes varones).

La investigación de Galton sobre este proceso sentó las bases para el estudio de los procesos de ramificación como un subcampo de la teoría de la probabilidad , y junto con estos procesos subsiguientes, el proceso de Galton-Watson ha encontrado numerosas aplicaciones en genética de poblaciones, informática y otros campos. ^{[ 3 ]}

Entre los victorianos existía la preocupación de que los apellidos aristocráticos se estuvieran extinguiendo. ^{[ 4 ]}

En 1869, Galton publicó *El genio hereditario* , en el que trató la extinción de diferentes grupos sociales.

Galton planteó originalmente una cuestión matemática sobre la distribución de apellidos en una población idealizada en un número de 1873 de The Educational Times : ^{[ 5 ]}

Una gran nación, de la cual solo nos ocuparemos de los varones adultos, N en número, y que cada uno tiene apellidos distintos, coloniza un distrito. Su ley de población es tal que, en cada generación, un ₀ por ciento de los varones adultos no tiene hijos varones que lleguen a la edad adulta; un _{1 por ciento} tiene un hijo varón; un _{2 por ciento} tiene dos; y así sucesivamente hasta un _{5 por ciento} que tiene cinco. Halla (1) qué proporción de sus apellidos se habrá extinguido después de r generaciones; y (2) cuántos casos habrá de que el apellido sea llevado por m personas.

El reverendo Henry William Watson respondió con una solución. ^{[ 6 ]} Juntos, escribieron un artículo en 1874 titulado "Sobre la probabilidad de la extinción de las familias" en el Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland (ahora Journal of the Royal Anthropological Institute ). ^{[ 7 ]} Galton y Watson parecen haber derivado su proceso independientemente del trabajo anterior de IJ Bienaymé . ^{[ 8 ]} Su solución es incompleta, según la cual todos los apellidos se extinguen con una probabilidad de 1.

Bienaymé había publicado previamente la respuesta al problema en 1845, ^{[ 9 ]} con la promesa de publicar la derivación más adelante; sin embargo, no se conoce ninguna publicación de su solución. (No obstante, Bru (1991) ^{[ 10 ]} pretende reconstruir la demostración). Se inspiró en Émile Littré ^{[ 11 ]} y Louis-François Benoiston de Châteauneuf (amigo de Bienaymé). ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Cournot publicó una solución en 1847, en el Capítulo V, §36 de De l'origine et des limites de la correspondeance entre l'algèbre et la géométrie . ^{[ 14 ]} El problema en su formulación es el siguiente: considérese un jugador que compra loterías. Cada lotería cuesta 1 écu y paga 0, 1, ..., m écus con probabilidades k ₀ , k ₁ , ..., k _m , respectivamente. El jugador comienza con 1 écu antes de la ronda 1, y en cada ronda de juego gasta todo su dinero en comprar loterías. Sea p _n la probabilidad de que el jugador se declare en bancarrota antes de la ( n +1) -ésima ronda de juego. ¿Cuál es el límite de p _n ?

Ronald A. Fisher estudió en 1922 el mismo problema formulado en términos de genética. En lugar de la extinción de apellidos, estudió la probabilidad de que un gen mutante desapareciera finalmente en una población grande. ^{[ 15 ]} Haldane resolvió el problema en 1927. ^{[ 16 ]}

Agner Krarup Erlang pertenecía a la prominente familia Krarup, que estaba en vías de extinción. En 1929, publicó el mismo problema póstumamente (su obituario aparece junto al problema). Erlang murió sin descendencia. Steffensen lo resolvió en 1930.

Para una historia detallada, véase Kendall (1966 ^{[ 17 ]} y 1975 ^{[ 13 ]} ) y Albertsen ^{[ 18 ]} y también la Sección 17 de Simkin y Roychowdhury. ^{[ 19 ]}

Supongamos, para efectos del modelo, que el apellido se transmite a todos los hijos varones por parte del padre. Supongamos que el número de hijos varones de un hombre es una variable aleatoria distribuida en el conjunto  {  0,  1,  2,  3,  ...  }. Supongamos además que el número de hijos varones de diferentes hombres son variables aleatorias independientes , todas con la misma distribución.

Entonces, la conclusión matemática sustancial más simple es que si el número promedio de hijos de un hombre es 1 o menos, entonces su apellido casi con seguridad desaparecerá, y si es más de  1, entonces hay más de una probabilidad de que sobreviva durante cualquier número dado de generaciones.

Una consecuencia de las altas probabilidades de extinción es que, si un linaje ha sobrevivido, es probable que haya experimentado, puramente por casualidad, una tasa de crecimiento inusualmente alta en sus primeras generaciones, al menos en comparación con el resto de la población.

Un proceso de Galton-Watson es un proceso estocástico.${\displaystyle \lbrace X_{n}\rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$que evoluciona según la fórmula de recurrencia${\displaystyle X_{0}=1}$y

${\displaystyle X_{n+1}=\sum _{j=1}^{X_{n}}\xi _{j}^{(n)}}$

dónde${\displaystyle \{\xi _{j}^{(n)}:n,j\in \mathbb {N} \}}$es un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con valores de números naturales.

En la analogía con los apellidos,${\displaystyle X_{n}}$puede considerarse como el número de descendientes (a lo largo de la línea masculina) en la${\displaystyle n}$-ésima generación, y${\displaystyle \xi _{j}^{(n)}}$puede pensarse como el número de hijos (varones) de la${\displaystyle j}$-de estos descendientes. La relación de recurrencia establece que el número de descendientes en el${\displaystyle (n+1)}$La -ésima generación es la suma, sobre todo${\displaystyle n}$-descendientes de la generación -ésima, del número de hijos de ese descendiente.

La probabilidad de extinción (es decir, la probabilidad de extinción final) viene dada por

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,}$

Esto es claramente igual a cero si cada miembro de la población tiene exactamente un descendiente. Excluyendo este caso (generalmente llamado caso trivial), existe una condición necesaria y suficiente simple, que se presenta en la siguiente sección.

En el caso no trivial, la probabilidad de extinción final es igual a${\displaystyle 1}$si${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]\leq 1}$y es estrictamente menor que${\displaystyle 1}$si${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]>1}$.

El proceso puede tratarse analíticamente utilizando el método de funciones generadoras de probabilidad .

Si el número de niños${\displaystyle \xi _{j}}$En cada nodo sigue una distribución de Poisson con parámetro${\displaystyle \lambda }$Se puede encontrar una recurrencia particularmente simple para la probabilidad total de extinción.${\displaystyle x_{n}}$para un proceso que comienza con un solo individuo a la vez${\displaystyle n}$:

${\displaystyle x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,}$

dando las curvas anteriores.

En el proceso clásico de transmisión del apellido Galton - Watson descrito anteriormente, solo se deben considerar los hombres, ya que solo ellos transmiten su apellido a sus descendientes. Esto significa que la reproducción puede modelarse como asexual. (De igual modo, si se analiza la transmisión mitocondrial, solo se deben considerar las mujeres, puesto que solo ellas transmiten sus mitocondrias a sus descendientes).

Un modelo que se asemeja más a la reproducción sexual real es el llamado " proceso bisexual de Galton - Watson", donde solo se reproducen parejas. ( En este contexto, "bisexual " se refiere al número de sexos involucrados, no a la orientación sexual ). En este proceso, se supone que cada hijo es varón o mujer, independientemente de los demás, con una probabilidad específica, y una función de apareamiento determina cuántas parejas se formarán en una generación determinada. Como antes, se considera que la reproducción de diferentes parejas es independiente entre sí. Ahora bien, el análogo del caso trivial corresponde al caso en que cada varón y cada hembra se reproducen en una sola pareja, teniendo un descendiente varón y una descendiente hembra, y que la función de apareamiento toma el valor mínimo del número de varones y hembras (que son los mismos a partir de la siguiente generación).

Dado que la reproducción total dentro de una generación depende ahora en gran medida de la función de apareamiento, en general no existe una condición necesaria y suficiente simple para la extinción final, como ocurre en el proceso clásico de Galton - Watson. Sin embargo, excluyendo el caso no trivial, el concepto de media de reproducción (Bruss (1984)) permite una condición suficiente general para la extinción final, que se analiza en la siguiente sección.

Citar ejemplos históricos del proceso Galton-Watson es complejo debido a que la historia de los apellidos a menudo se desvía significativamente del modelo teórico. Cabe destacar que se pueden crear nuevos apellidos, los existentes pueden cambiar a lo largo de la vida de una persona, y, tradicionalmente, las personas han adoptado apellidos de personas sin parentesco, especialmente de la nobleza. Por lo tanto, la existencia de un número reducido de apellidos en la actualidad no constituye, por sí sola, prueba de su extinción con el tiempo, ni de que esta se deba a la desaparición de las líneas familiares. Esto último requiere que existieran más apellidos en el pasado y que su desaparición se debiera a la extinción de la línea familiar, en lugar de que el cambio de nombre se deba a otras razones, como que los vasallos adoptaran el apellido de su señor.

Los nombres chinos son un ejemplo bien estudiado de extinción de apellidos: más de dos milenios después de que la adopción de apellidos se volviera común, actualmente solo hay alrededor de 3100 apellidos en uso en China, en comparación con cerca de 12 000 registrados en el pasado, ^{[ 20 ] [ 21 ]} con un 22 % de la población compartiendo los nombres Li , Wang y Zhang (que suman cerca de 300 millones de personas), y los 200 nombres más frecuentes (6,5 %) cubren el 96 % de la población. Los nombres han cambiado o se han extinguido por varias razones, como que las personas tomen los nombres de sus gobernantes, simplificaciones ortográficas y tabúes contra el uso de caracteres del nombre de un emperador , entre otros. ^{[ 21 ]} Si bien la extinción de los linajes familiares puede ser un factor en la extinción de los apellidos, no es de ninguna manera el único factor ni siquiera un factor significativo. De hecho, el factor más significativo que afecta la frecuencia de los apellidos es que otros grupos étnicos se identifican como Han y adoptan nombres Han. ^{[ 21 ]} Además, si bien han surgido nuevos nombres por diversas razones, esto se ha visto contrarrestado por la desaparición de nombres antiguos. ^{[ 21 ]}

Por el contrario, algunas naciones han adoptado apellidos recientemente. Esto significa que no han experimentado la extinción de apellidos durante un período prolongado y que los nombres se adoptaron cuando la nación tenía una población relativamente grande, en lugar de las poblaciones más pequeñas de la antigüedad. ^{[ 21 ]} Además, estos nombres a menudo se han elegido de forma creativa y son muy diversos. Algunos ejemplos son:

• Los nombres japoneses , cuyo uso general se remonta a la Restauración Meiji a finales del siglo XIX (cuando la población superaba los 30 millones de habitantes), cuentan con más de 100 000 apellidos, que son muy variados, y el gobierno obliga a las parejas casadas a usar el mismo apellido. Investigaciones recientes han revelado que los plebeyos en Japón durante el período Edo no poseían apellidos oficiales, sino que cada uno adoptaba arbitrariamente su propio apellido privado. Se ha constatado que solo se creó un número muy reducido de apellidos nuevos durante la Restauración Meiji. ^{[ 22 ]}
• Muchos apellidos neerlandeses incluyen un apellido formal desde las guerras napoleónicas a principios del siglo XIX. Anteriormente, los apellidos se originaban a partir de patronímicos ^{[ 23 ]} (p. ej., Jansen = hijo de Juan), cualidades personales (p. ej., de Rijke = el rico), lugares geográficos (p. ej., van Rotterdam) y ocupaciones (p. ej., Visser = el pescador), a veces incluso combinados (p. ej., Jan Jansz van Rotterdam). Existen más de 68 000 apellidos neerlandeses.
• Los nombres tailandeses incluyen el apellido solo desde 1920, y cada apellido es válido para una sola familia; por lo tanto, existe una gran variedad de nombres tailandeses. Además, los tailandeses cambian de apellido con cierta frecuencia, lo que complica el análisis.

Por otro lado, algunos ejemplos de alta concentración de apellidos no se deben principalmente al proceso Galton-Watson:

• Los apellidos vietnamitas abarcan alrededor de 100, y el 60% de la población comparte tres apellidos. Se estima que el apellido Nguyễn es utilizado por casi el 40% de la población vietnamita, y el 90% comparte 15 apellidos. Sin embargo, como lo demuestra la historia del apellido Nguyễn, esto se debe en gran medida a que los nombres se imponen o se adoptan por razones ajenas al parentesco genético.

Las aplicaciones modernas incluyen las probabilidades de supervivencia de un nuevo gen mutante , el inicio de una reacción en cadena nuclear , la dinámica de los brotes de enfermedades en sus primeras generaciones de propagación o las probabilidades de extinción de pequeñas poblaciones de organismos .

• Proceso de ramificación
• Proceso de ramificación dependiente de los recursos
• Colapso del pedigrí

• Harris, Theodore Edward (1963). La teoría de los procesos de ramificación (PDF) . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol.  119. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-51868-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

• "La supervivencia de un único mutante" por Peter M. Lee de la Universidad de York
• El sencillo proceso de Galton-Watson: Enfoque clásico , Universidad de Münster