Punto extremo

En matemáticas , un punto extremo de un conjunto convexo en un espacio vectorial real o complejo es un punto en que no se encuentra en ningún segmento de línea abierto que une dos puntos de En problemas de programación lineal , un punto extremo también se llama vértice o punto de esquina de ^[1]${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S.}$${\estilo de visualización S.}$

En todo momento se supone que es un espacio vectorial real o complejo . ${\estilo de visualización X}$

Para cualquiera que diga eso${\displaystyle p,x,y\en X,}$${\estilo de visualización p}$ se encuentra entre ^[2] ysiy existe untal que${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle x\neq y}$${\estilo de visualización 0<t<1}$${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

Si es un subconjunto de y entonces se llama un${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle p\en K,}$${\estilo de visualización p}$punto extremo ^[2]desi no se encuentra entre dospuntosdistintosEs decir, sinoexisteytal queyEl conjunto de todos los puntos extremos dese denota por${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K.}$${\displaystyle x,y\en K}$${\estilo de visualización 0<t<1}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \operatorname {extremo} (K).}$

Generalizaciones

Si es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un subespacio afín ) del espacio vectorial se denomina${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización A}$variedad de soporte sicumple(es decir,no está vacío) y cada segmento abiertocuyo interior cumplees necesariamente un subconjunto de^[3]Una variedad de soporte de dimensión 0 se denomina punto extremo de^[3]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle A\cap S}$${\displaystyle I\subseteq S}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A.}$${\estilo de visualización S.}$

Elpunto medio ^[2]de dos elementosyen un espacio vectorial es el vector${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se denomina${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$segmento de línea cerrado ointervalo cerrado entreyEl${\estilo de visualización x}$${\displaystyle y.}$segmento de línea abierto ointervalo abierto entreyescuandomientras que escuando^[2]Los puntosyse llaman${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle (x,x)=\varnothing}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$${\displaystyle x\neq y.}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$puntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo es unintervalo no degenerado o unintervalo propio si sus extremos son distintos.El punto medio de un intervalo es el punto medio de sus puntos finales.

El intervalo cerrado es igual a la envoltura convexa de si (y sólo si) Entonces si es convexo y entonces${\estilo de visualización [x,y]}$${\estilo de visualización (x,y)}$${\displaystyle x\neq y.}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle x,y\en K,}$${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

Si es un subconjunto no vacío de y es un subconjunto no vacío de entonces se llama${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización K,}$${\estilo de visualización F}$cara ^[2]desi siempre que un puntose encuentra entre dos puntos deentonces esos dos puntos pertenecen necesariamente a${\estilo de visualización K}$${\displaystyle p\en F}$${\estilo de visualización K,}$${\estilo de visualización F.}$

Si son dos números reales entonces y son puntos extremos del intervalo Sin embargo, el intervalo abierto no tiene puntos extremos. ^[2] Cualquier intervalo abierto en no tiene puntos extremos mientras que cualquier intervalo cerrado no degenerado no igual a sí tiene puntos extremos (es decir, el/los punto(s) final(es) del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensión finita no tiene puntos extremos. ${\estilo de visualización a<b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización [a,b].}$${\estilo de visualización (a,b)}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los puntos extremos del disco unitario cerrado son el círculo unitario . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono. ^[2] Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un mapa lineal inyectivo envía los puntos extremos de un conjunto convexo a los puntos extremos del conjunto convexo ^[2]. Esto también es cierto para los mapas afines inyectivos. ${\displaystyle F:X\a Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\estilo de visualización F(X).}$

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología de subespacio) pero este conjunto puede no ser cerrado en ^[2]${\estilo de visualización X.}$

El teorema de Kerin-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.

Estos teoremas son para espacios de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym .

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo. (En espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de estar cerrado y acotado. ^[4] )

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se denomina estrictamente convexo si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo. ^[6] La bola unitaria de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo. ^[6]

De manera más general, un punto en un conjunto convexo es -extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo -dimensional dentro pero no en un conjunto convexo -dimensional dentro Por lo tanto, un punto extremo también es un punto -extremo. Si es un politopo, entonces los puntos -extremos son exactamente los puntos interiores de las caras -dimensionales de De manera más general, para cualquier conjunto convexo los puntos -extremos se dividen en caras abiertas -dimensionales. ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización k+1}$${\estilo de visualización S.}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización S.}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$

El teorema de Kerin-Milman de dimensión finita, que se debe a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos. Si es cerrado, acotado y de dimensión n, y si es un punto en entonces es extremo para algún El teorema afirma que es una combinación convexa de puntos extremos. Si entonces es inmediato. En caso contrario se encuentra en un segmento de línea en el que puede extenderse al máximo (porque es cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son y entonces su rango extremo debe ser menor que el de y el teorema se deduce por inducción. ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k\leq n.}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle k=0}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización r,}$${\estilo de visualización p,}$

• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo
• Control bang-bang ^[7]

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