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Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW; /ˈfriːdmənləˈmɛtrə.../ ) es una métrica que describe un universo homogéneo , isotrópico y en expansión ( o en contracció...

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La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW; /ˈfriːdmənləˈmɛtrə.../ ) es una métrica que describe un universo homogéneo , isotrópico y en expansión ( o en contracción , oscilante o constante ) que está conectado por caminos , pero no necesariamente simplemente conectado . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] La forma general de la métrica se deriva de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía. Dependiendo de las preferencias geográficas o históricas, el conjunto de los cuatro científicos —Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker— se agrupa de diversas maneras como Friedmann , Friedmann-Robertson-Walker ( FRW ), Robertson-Walker ( RW ) o Friedmann-Lemaître ( FL ). Cuando se combina con las ecuaciones de campo de Einstein, la métrica da las ecuaciones de Friedmann , que se han desarrollado en el Modelo Estándar de la cosmología moderna [ 4 ] y se han desarrollado aún más en el modelo Lambda-CDM .

Concepto

La métrica es consecuencia de asumir que la masa en el universo tiene densidad constante (homogeneidad) y es la misma en todas las direcciones (isotropía); estas dos condiciones se conocen como el principio cosmológico . Sin este principio, sería necesario extraer una métrica de datos astronómicos, lo cual podría no ser posible. [ 5 ] : 408 Asumir únicamente la isotropía es suficiente para reducir los posibles movimientos de la masa en el universo a variaciones de velocidad radial. La observación directa de las estrellas ha demostrado que sus velocidades están dominadas por la recesión radial, lo que valida estas suposiciones para los modelos cosmológicos. [ 6 ] : 65

Para medir distancias en este espacio, es decir, para definir una métrica, podemos comparar las posiciones de dos puntos en el espacio, moviéndose junto con su velocidad radial local de masa. Dichos puntos pueden considerarse galaxias ideales. A cada galaxia se le puede asignar un reloj para registrar el tiempo local, y los relojes se sincronizan imaginando que las velocidades radiales retroceden hasta que coinciden en el espacio. El principio de equivalencia aplicado a cada galaxia significa que las mediciones de distancia se pueden realizar localmente utilizando la relatividad especial . Así, una distanciadτ{\displaystyle d\tau }puede estar relacionado con la hora local t y las coordenadas:

do2dτ2=do2dt2−dincógnita2−dy2−dz2{\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}

Una distribución de masa isotrópica y homogénea es altamente simétrica. Reescribir la métrica en coordenadas esféricas reduce cuatro coordenadas a tres. La coordenada radial se escribe como el producto de una coordenada comóvil , r , y un factor de escala dependiente del tiempo R(t) . La métrica resultante puede escribirse de varias formas. Dos de las más comunes son:

do2dτ2=do2dt2−R2(t)(dr2+Sk2(r)dψ2){\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left(dr^{2}+S_{k}^{2}(r)d\psi ^{2}\right)}

o

do2dτ2=do2dt2−R2(t)(dr21−kr2+r2dψ2){\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\psi ^{2}\right)}

dóndeψ{\displaystyle \psi }es el ángulo entre las dos ubicaciones y

S−1(r)=sinh⁡(r),S0=1,S1=pecado⁡(r).{\displaystyle S_{-1}(r)=\sinh(r),S_{0}=1,S_{1}=\sin(r).}

(El significado de r en estas ecuaciones no es el mismo). Otras variaciones comunes utilizan un factor de escala adimensional.

a(t)=R(t)R0{\displaystyle a(t)={\frac {R(t)}{R_{0}}}}

donde el tiempo cero es ahora. [ 6 ] : 70

analogía bidimensional

El factor de escala dependiente del tiempoR(t){\displaystyle R(t)}, que desempeña un papel fundamental en cosmología, tiene un análogo en el radio de una esfera. Una esfera es una superficie bidimensional incrustada en un espacio tridimensional. El radio de una esfera reside en la tercera dimensión: no forma parte de la superficie bidimensional. Sin embargo, el valor de este radio afecta a las distancias medidas en la superficie bidimensional. De manera similar, el factor de escala cosmológico no es una distancia en nuestro espacio tridimensional, pero su valor afecta a la medición de distancias. [ 7 ] : 147

Modelos FLRW

Aplicar la métrica a la cosmología y predecir su evolución temporal requiere las ecuaciones de campo de Einstein y una forma de calcular la densidad,ρ(t),{\displaystyle \rho (t),}como una ecuación de estado cosmológica . Este proceso permite una solución analítica aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein.GRAMOμν+Λgramoμν=κTμν{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}dando las ecuaciones de Friedmann cuando se supone que el tensor energía-momento es isotrópico y homogéneo. Los modelos basados ​​en la métrica FLRW y que obedecen las ecuaciones de Friedmann se denominan modelos FRW . [ 6 ] : 73 La observación directa de las estrellas ha demostrado que sus velocidades están dominadas por la recesión radial, lo que valida estas suposiciones para los modelos cosmológicos. [ 6 ] : 65 Estos modelos son la base del modelo cosmológico estándar del Big Bang , incluido el modelo ΛCDM actual . [ 8 ] : 25.1.3

Métrica general

La métrica FLRW asume homogeneidad e isotropía del espacio. [ 9 ] : 404 Si bien estas simetrías espaciales permiten que la geometría espacial de la métrica dependa generalmente del tiempo, restringen el componente temporal (gramo00{\displaystyle g_{00}}) ser independiente de la posición espacial. En consecuencia, mediante una elección apropiada del tiempo de coordenadas —que representa el tiempo propio o "tiempo cósmico" medido por observadores comóviles sincronizados— el componente de la métrica temporal siempre puede establecerse como una constante. La métrica genérica que cumple estas condiciones es

−do2dτ2=−do2dt2+a(t)2dΣ2,{\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}

dóndeΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }abarca un espacio tridimensional de curvatura uniforme, es decir, el espacio elíptico , el espacio euclidiano o el espacio hiperbólico . Normalmente se expresa como una función de tres coordenadas espaciales, pero existen varias convenciones para hacerlo, que se detallan a continuación.dΣ{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }no depende det{\displaystyle t}– toda la dependencia temporal está en la funcióna(t){\displaystyle a(t)}, conocido como el " factor de escala ".

Coordenadas polares de circunferencia reducida

En coordenadas polares de circunferencia reducida, la métrica espacial tiene la forma [ 10 ] [ 11 ]

dΣ2=dr21−kr2+r2dΩ2, dónde dΩ2=dθ2+pecado2⁡θdϕ2.{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{ donde }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}

k{\displaystyle k}es una constante que representa la curvatura del espacio. Existen dos convenciones de unidades comunes:

  • k{\displaystyle k}puede tomarse que tiene unidades de longitud −2 , en cuyo casor{\displaystyle r}tiene unidades de longitud ya(t){\displaystyle a(t)}no tiene unidades.k{\displaystyle k}es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en quea(t)=1{\displaystyle a(t)=1}.r{\displaystyle r}a veces se le llama circunferencia reducida porque es igual a la circunferencia medida de un círculo (a ese valor der{\displaystyle r}), centrado en el origen, dividido por2π{\displaystyle 2\pi }(como elr{\displaystyle r}de coordenadas de Schwarzschild ). Cuando corresponda,a(t){\displaystyle a(t)}a menudo se elige igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo quedΣ{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }mide la distancia comóvil .
  • Alternativamente,k{\displaystyle k}Se puede considerar que pertenece al conjunto {−1, 0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva, respectivamente). Entoncesr{\displaystyle r}no tiene unidades ya(t){\displaystyle a(t)}tiene unidades de longitud. Cuandok=±1{\displaystyle k=\pm 1},a(t){\displaystyle a(t)}es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirseR(t){\displaystyle R(t)}.

Una desventaja de las coordenadas de circunferencia reducidas es que cubren solo la mitad de la 3-esfera en el caso de curvatura positiva; las circunferencias más allá de ese punto comienzan a disminuir, lo que lleva a la degeneración. (Esto no representa un problema si el espacio es elíptico , es decir, una 3-esfera con puntos opuestos identificados).

Coordenadas hiperesféricas

En coordenadas hiperesféricas o normalizadas por curvatura , la coordenadar{\displaystyle r}es proporcional a la distancia radial; esto da

dΣ2=dr2+Sk(r)2dΩ2{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}

dóndedΩ{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }es como antes y

Sk(r)={k−1pecado⁡(rk),k>0r,k=0|k|−1sinh⁡(r|k|),k<0.{\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}

Como antes, existen dos convenciones de unidades comunes:

  • k{\displaystyle k}puede tomarse que tiene unidades de longitud −2 , en cuyo casor{\displaystyle r}tiene unidades de longitud ya(t){\displaystyle a(t)}no tiene unidades. k{\displaystyle k}es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en quea(t)=1{\displaystyle a(t)=1} Cuando sea apropiado ,a(t){\displaystyle a(t)}a menudo se elige igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo quedΣ{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }mide la distancia comóvil .
  • Alternativamente, como antes,k{\displaystyle k}Se puede considerar que pertenece al conjunto {−1, 0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entoncesr{\displaystyle r}no tiene unidades ya(t){\displaystyle a(t)}tiene unidades de longitud. Cuandok=±1{\displaystyle k=\pm 1},a(t){\displaystyle a(t)}es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirseR(t){\displaystyle R(t)}. Tenga en cuenta que cuandok=+1{\displaystyle k=+1},r{\displaystyle r}es esencialmente un tercer ángulo junto conθ{\displaystyle \theta }yϕ{\displaystyle \phi }La cartaχ{\displaystyle \chi }puede usarse en lugar der{\displaystyle r}.

Aunque normalmente se define por partes como se indicó anteriormente,S{\displaystyle S}es una función analítica de ambosk{\displaystyle k}yr{\displaystyle r}También se puede escribir como una serie de potencias .

Sk(r)=∑norte=0∞(−1)norteknorter2norte+1(2norte+1)¡=r−kr36+k2r5120−⋯{\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }

o como

Sk(r)=rsinortedo(rk),{\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}

dóndesinortedo{\displaystyle \mathrm {sinc} }es la función sinc no normalizada yk{\displaystyle {\sqrt {k}}}es una de las raíces cuadradas imaginarias, cero o reales dek{\displaystyle k}Estas definiciones son válidas para todos .k{\displaystyle k}.

Coordenadas cartesianas

Cuandok=0{\displaystyle k=0}uno puede escribir simplemente

dΣ2=dincógnita2+dy2+dz2.{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}

Esto se puede extender ak≠0{\displaystyle k\neq 0}definiendo

incógnita=rporque⁡θ,y=rpecado⁡θporque⁡ϕ,z=rpecado⁡θpecado⁡ϕ,{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \,,\\y&=r\sin \theta \cos \phi \,,\\z&=r\sin \theta \sin \phi \,,\end{aligned}}}

dónder{\displaystyle r}es una de las coordenadas radiales definidas anteriormente, pero esto es poco común.

Curvatura

Coordenadas cartesianas

En piso(k=0){\displaystyle (k=0)}En el espacio FLRW usando coordenadas cartesianas, los componentes sobrevivientes del tensor de Ricci son [ 12 ].

Rtt=−3a¨a,Rincógnitaincógnita=Ryy=Rzz=do−2(aa¨+2a˙2){\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)}

y el escalar de Ricci es

R=6do−2(a¨(t)a(t)+a˙2(t)a2(t)).{\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}

Coordenadas esféricas

En el espacio FLRW más general que utiliza coordenadas esféricas (denominadas anteriormente "coordenadas polares de circunferencia reducida"), los componentes supervivientes del tensor de Ricci son [ 13 ].

Rtt=−3a¨a,Rrr=do−2(aa¨+2a˙2)+2k1−kr2Rθθ=r2[do−2(aa¨+2a˙2)+2k]Rϕϕ=r2pecado2⁡(θ)[do−2(aa¨+2a˙2)+2k]{\displaystyle {\begin{aligned}R_{tt}&=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\\[1ex]R_{rr}&={\frac {c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k}{1-kr^{2}}}\\[1ex]R_{\theta \theta }&=r^{2}\left[c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k\right]\\[1ex]R_{\phi \phi }&=r^{2}\sin ^{2}(\theta )\left[c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k\right]\end{aligned}}}

y el escalar de Ricci es

R=6do2(a¨(t)a(t)+a˙2(t)a2(t)+do2ka2(t)).{\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}}}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}+{\frac {c^{2}k}{a^{2}(t)}}\right).}

Nombre e historia

En 1922 y 1924, el matemático soviético Alexander Friedmann [ 14 ] [ 15 ] y en 1927, Georges Lemaître , un sacerdote belga, astrónomo y profesor periódico de física en la Universidad Católica de Lovaina , llegaron independientemente a resultados [ 16 ] [ 17 ] que se basaban en la métrica. Howard P. Robertson de los EE. UU. y Arthur Geoffrey Walker del Reino Unido exploraron el problema más a fondo durante la década de 1930. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] En 1935, Robertson y Walker demostraron rigurosamente que la métrica FLRW es la única en un espaciotiempo que es espacialmente homogéneo e isotrópico (como se señaló anteriormente, este es un resultado geométrico y no está vinculado específicamente a las ecuaciones de la relatividad general, que Friedmann y Lemaître siempre asumieron).

Esta solución, a menudo denominada métrica de Robertson-Walker , ya que demostraron sus propiedades genéricas, difiere de los modelos dinámicos de Friedmann-Lemaître. Estos modelos son soluciones específicas para a ( t ) que suponen que las únicas contribuciones a la energía-impulso son la materia fría ("polvo"), la radiación y una constante cosmológica.

Estado actual

Problema sin resolver en física
¿Es el universo homogéneo e isotrópico a escalas suficientemente grandes, como afirma el principio cosmológico ? [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] ¿Es el dipolo del CMB puramente cinemático, o señala una posible ruptura de la métrica FLRW? [ 22 ] ¿Es válida la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en el universo tardío? [ 22 ] [ 25 ]
Más problemas sin resolver en física

El modelo cosmológico estándar actual, el modelo Lambda-CDM , utiliza la métrica FLRW. Al combinar los datos de observación de algunos experimentos, como WMAP y Planck , con los resultados teóricos del teorema de Ehlers-Geren-Sachs y su generalización, [ 26 ] los astrofísicos ahora coinciden en que el universo temprano es casi homogéneo e isotrópico (cuando se promedia sobre una escala muy grande) y, por lo tanto, casi un espaciotiempo FLRW. Dicho esto, los intentos de confirmar la interpretación puramente cinemática del dipolo del Fondo Cósmico de Microondas (CMB) a través de estudios de radiogalaxias [ 27 ] y cuásares [ 28 ] muestran discrepancias en la magnitud. Tomadas al pie de la letra, estas observaciones están en desacuerdo con que el universo se describa mediante la métrica FLRW. Además, se puede argumentar que existe un valor máximo para la constante de Hubble dentro de una cosmología FLRW tolerado por las observaciones actuales,H0{\displaystyle H_{0}}=71 ± 1  km/s/Mpc , y dependiendo de cómo converjan las determinaciones locales, esto puede indicar una ruptura de la métrica FLRW en el universo tardío, lo que requiere una explicación más allá de la métrica FLRW. [ 29 ] [ 22 ]

Referencias

  1. ↑ Para una referencia temprana, véase Robertson (1935); Robertson asume la conectividad múltiple en el caso de curvatura positiva y dice que "todavía somos libres de restaurar" la conectividad simple.
  2. ↑ Lachieze-Rey, M.; Luminet, J.-P. (1995). "Topología Cósmica". Physics Reports . 254 (3): 135– 214. arXiv : gr-qc/9605010 . Bibcode : 1995PhR...254..135L . doi : 10.1016/0370-1573(94)00085-H . S2CID 119500217 . 
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Lecturas adicionales

  • North, John David (1990). La medida del universo: una historia de la cosmología moderna . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66517-7.
  • Harrison, ER (1967). "Clasificación de modelos cosmológicos uniformes" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 137 (1): 69– 79. Bibcode : 1967MNRAS.137...69H . doi : 10.1093/mnras/137.1.69 . ISSN 0035-8711 . 
  • D'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein (  Ed. reimpresa). Oxford [Inglaterra]  : Nueva York: Clarendon Press; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.( Véase el capítulo 23 para una introducción particularmente clara y concisa a los modelos FLRW).