Plan FTCS

En análisis numérico , el método FTCS (espacio centrado en el tiempo hacia adelante) es un método de diferencias finitas utilizado para resolver numéricamente la ecuación del calor y ecuaciones diferenciales parciales parabólicas similares . ^{[ 1 ]} Es un método de primer orden en el tiempo, explícito en el tiempo y condicionalmente estable cuando se aplica a la ecuación del calor. Cuando se utiliza como método para ecuaciones de advección , o más generalmente ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , es inestable a menos que se incluya viscosidad artificial. La abreviatura FTCS fue utilizada por primera vez por Patrick Roache. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El método FTCS se basa en el método de Euler hacia adelante en el tiempo (de ahí "tiempo hacia adelante") y en la diferencia central en el espacio (de ahí "espacio centrado"), lo que proporciona convergencia de primer orden en el tiempo y convergencia de segundo orden en el espacio. Por ejemplo, en una dimensión, si la ecuación diferencial parcial es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

entonces, dejando${\displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,}$El método de Euler hacia adelante viene dado por:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

La función${\displaystyle F}$debe discretizarse espacialmente con un esquema de diferencias centrales . Este es un método explícito que significa que,${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$se puede calcular explícitamente (sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas) si los valores de${\displaystyle u}$en el nivel de tiempo anterior${\displaystyle (n)}$son conocidos. El método FTCS es computacionalmente económico ya que el método es explícito.

El método FTCS se aplica a menudo a problemas de difusión . Como ejemplo, para la ecuación de calor 1D ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

El esquema FTCS se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

o, dejando${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

Como se deduce utilizando el análisis de estabilidad de von Neumann , el método FTCS para la ecuación de calor unidimensional es numéricamente estable si y solo si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.}$

Es decir, que la elección de${\displaystyle \Delta x}$y${\displaystyle \Delta t}$debe satisfacer la condición anterior para que el esquema FTCS sea estable. En dos dimensiones, la condición se convierte en

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.}$

Si elegimos${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$, entonces las condiciones de estabilidad se convierten en${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$,${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$, y${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$para aplicaciones unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, respectivamente. ^{[ 4 ]}

Una desventaja importante del método FTCS es que para problemas con gran difusividad${\displaystyle \alpha }$Los tamaños de paso satisfactorios pueden ser demasiado pequeños para ser prácticos.

Para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , el problema de prueba lineal es la ecuación de advección de coeficiente constante , a diferencia de la ecuación del calor (o ecuación de difusión ), que es la elección correcta para una ecuación diferencial parabólica . Es bien sabido que para estos problemas hiperbólicos , cualquier elección de ${\displaystyle \Delta t}$da como resultado un esquema inestable. ^{[ 5 ]}

• Ecuaciones diferenciales parciales
• Método de Crank-Nicolson
• Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo