Tasa de error familiar

_{La siguiente tabla define los posibles resultados al probar múltiples hipótesis nulas. Supongamos que} tenemos m hipótesis nulas, denotadas por: H₁ , H₂ , ..., Hₘ _.    Mediante una prueba estadística , rechazamos la hipótesis nula si la prueba resulta significativa. No rechazamos la hipótesis nula si la prueba no es significativa. La suma de cada tipo de resultado para todas las _{Hᵢ produce} las  siguientes variables aleatorias:

• m es el número total de hipótesis probadas
• ${\displaystyle m_{0}}$es el número de hipótesis nulas verdaderas , un parámetro desconocido
• ${\displaystyle m-m_{0}}$es el número de hipótesis alternativas verdaderas
• V es el número de falsos positivos (error de tipo I) (también llamados "falsos descubrimientos").
• S es el número de verdaderos positivos (también llamados "verdaderos descubrimientos").
• T es el número de falsos negativos (error de tipo II).
• U es el número de verdaderos negativos
• ${\displaystyle R=V+S}$es el número de hipótesis nulas rechazadas (también llamadas "descubrimientos", ya sean verdaderas o falsas)

En m pruebas de hipótesis de las cuales${\displaystyle m_{0}}$son hipótesis nulas verdaderas, R es una variable aleatoria observable y S , T , U y V son variables aleatorias no observables .

• Denotemos por${\displaystyle p_{i}}$el valor p para la prueba${\displaystyle H_{i}}$
• rechazar${\displaystyle H_{i}}$si${\displaystyle p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}}$

• Probar cada hipótesis en el nivel${\displaystyle \alpha _{SID}=1-(1-\alpha )^{\frac {1}{m}}}$es el procedimiento de pruebas múltiples de Sidak.
• Este procedimiento es más eficaz que el de Bonferroni, pero la mejora es pequeña.
• Este procedimiento puede fallar al controlar el FWER cuando las pruebas son negativamente dependientes.

• El procedimiento de Tukey solo es aplicable para comparaciones por pares.
• Se presupone la independencia de las observaciones que se están probando, así como la igualdad de variación entre las observaciones ( homoscedasticidad ).
• El procedimiento calcula para cada par el estadístico de rango estudentizado :${\displaystyle {\frac {Y_{A}-Y_{B}}{SE}}}$dónde${\displaystyle Y_{A}}$es la mayor de las dos medias que se comparan,${\displaystyle Y_{B}}$es el más pequeño, y${\displaystyle SE}$es el error estándar de los datos en cuestión.
• La prueba de Tukey es esencialmente una prueba t de Student , excepto que corrige la tasa de error familiar .

• Comience ordenando los valores p (de menor a mayor).${\displaystyle P_{(1)}\ldots P_{(m)}}$y sean las hipótesis asociadas ${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$
• Dejar${\displaystyle k}$sea ​​el índice mínimo tal que${\displaystyle P_{(k)}>{\frac {\alpha }{m+1-k}}}$
• Rechazar las hipótesis nulas${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(k-1)}}$. Si${\displaystyle k=1}$entonces ninguna de las hipótesis es rechazada.

Este procedimiento es uniformemente más potente que el procedimiento de Bonferroni. ^{[ 8 ]} La razón por la que este procedimiento controla la tasa de error global para las m hipótesis en el nivel α en sentido estricto es porque se trata de un procedimiento de prueba cerrado . Por lo tanto, cada intersección se prueba utilizando la prueba de Bonferroni simple.

El procedimiento escalonado de Yosef Hochberg (1988) se realiza utilizando los siguientes pasos: ^{[ 9 ]}

• Comience ordenando los valores p (de menor a mayor).${\displaystyle P_{(1)}\ldots P_{(m)}}$y sean las hipótesis asociadas ${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$
• Para un dado${\displaystyle \alpha }$, dejar${\displaystyle R}$ser el más grande${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle P_{(k)}\leq {\frac {\alpha }{m+1-k}}}$
• Rechazar las hipótesis nulas${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(R)}}$

El procedimiento de Hochberg es más potente que el de Holm. Sin embargo, mientras que el de Holm es un procedimiento de prueba cerrado (y, por lo tanto, al igual que el de Bonferroni, no tiene restricciones sobre la distribución conjunta de los estadísticos de prueba), el de Hochberg se basa en la prueba de Simes, por lo que solo es válido bajo dependencia no negativa. La prueba de Simes se deriva bajo el supuesto de pruebas independientes; ^{[ 10 ]} es conservadora para pruebas que son positivamente dependientes en cierto sentido ^{[ 11 ] [ 12 ]} y es anticonservadora para ciertos casos de dependencia negativa. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Sin embargo, se ha sugerido que una versión modificada del procedimiento de Hochberg sigue siendo válida bajo dependencia negativa general. ^{[ 15 ]}

Charles Dunnett (1955, 1966) describió un ajuste alternativo del error alfa cuando se comparan k grupos con el mismo grupo de control. Este método, conocido actualmente como la prueba de Dunnett, es menos conservador que el ajuste de Bonferroni.

Los procedimientos de Bonferroni y Holm controlan la FWER bajo cualquier estructura de dependencia de los valores p (o, equivalentemente, de los estadísticos de prueba individuales). Básicamente, esto se logra considerando una estructura de dependencia en el peor de los casos (que, para la mayoría de los fines prácticos, se aproxima a la independencia). Sin embargo, este enfoque es conservador si la dependencia es positiva. Por poner un ejemplo extremo, bajo una dependencia positiva perfecta, existe efectivamente una sola prueba y, por lo tanto, la FWER no se ve inflada.

Considerar la estructura de dependencia de los valores p (o de los estadísticos de prueba individuales) produce procedimientos más potentes. Esto se puede lograr aplicando métodos de remuestreo, como el bootstrapping y los métodos de permutación. El procedimiento de Westfall y Young (1993) requiere una condición que no siempre se cumple en la práctica (a saber, la pivotalidad de subconjuntos). ^{[ 16 ]} Los procedimientos de Romano y Wolf (2005a,b) prescinden de esta condición y, por lo tanto, son más generalmente válidos. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

El procedimiento de valor p de media armónica (HMP) ^{[ 19 ] [ 20 ]} proporciona una prueba multinivel que mejora la potencia de la corrección de Bonferroni al evaluar la significancia de grupos de hipótesis mientras controla la tasa de error familiar en sentido estricto. La significancia de cualquier subconjunto${\textstyle {\mathcal {R}}}$del${\textstyle m}$Las pruebas se evalúan calculando el HMP para el subconjunto,$${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}={\frac {\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}{\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}/p_{i}}},}$$dónde${\textstyle w_{1},\dots ,w_{m}}$son pesos que suman uno (es decir,${\textstyle \sum _{i=1}^{m}w_{i}=1}$). Un procedimiento aproximado que controla la tasa de error familiar en sentido fuerte a un nivel aproximado${\textstyle \alpha }$rechaza la hipótesis nula de que ninguno de los valores p en el subconjunto${\textstyle {\mathcal {R}}}$son significativos cuando${\textstyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}\leq \alpha \,w_{\mathcal {R}}}$^{[ 21 ]} (donde${\textstyle w_{\mathcal {R}}=\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}$). Esta aproximación es razonable para valores pequeños${\textstyle \alpha }$(p.ej${\textstyle \alpha <0.05}$) y se vuelve arbitrariamente bueno como${\textstyle \alpha }$se aproxima a cero. También está disponible una prueba asintóticamente exacta (véase el artículo principal ).