Sistema de factores

En matemáticas , un sistema factorial (a veces llamado conjunto factorial ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para el problema de extensión de grupos . ^{[1] [2]} Consiste en un conjunto de automorfismos y una función binaria en un grupo que satisface cierta condición (la llamada condición de cociclo ). De hecho, un sistema factorial constituye una realización de los cociclos en el segundo grupo de cohomología en la cohomología de grupos . ^[3]

Supongamos que G es un grupo y A es un grupo abeliano . Para una extensión de grupo

${\displaystyle 1\a A\a X\a G\a 1,}$

existe un sistema factorial que consiste en una función f  : G × G → A y homomorfismo σ : G → Aut( A ) tal que hace del producto cartesiano G × A un grupo X como

${\displaystyle (g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).}$

Por lo tanto, f debe ser un "grupo 2-cociclo" (y por lo tanto definir un elemento en H ² ( G , A ), como se estudia en la cohomología de grupos ). De hecho, A no tiene por qué ser abeliano, pero la situación es más complicada para los grupos no abelianos ^[4]

Si f es trivial, entonces X se divide en A , de modo que X es el producto semidirecto de G con A.

Si se da un álgebra de grupo , entonces un sistema de factores f modifica esa álgebra a un álgebra de grupo oblicuo modificando la operación de grupo xy a f  ( x , y )  xy .

Sea G un grupo y L un cuerpo en el que G actúa como automorfismos. Un sistema de cociclo o factor (Noether) ^{[5] : 31} es una función c : G × G → L ^* que satisface

${\displaystyle c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).}$

Los cociclos son equivalentes si existe algún sistema de elementos a  : G → L ^* con

${\displaystyle c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).}$

Cociclos de la forma

${\displaystyle c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}}$

se llaman cociclos divididos . Los cociclos bajo multiplicación módulo cociclos divididos forman un grupo, el segundo grupo de cohomología H ² ( G , L ^* ).

Supongamos que G es el grupo de Galois de una extensión de cuerpo L / K . Un sistema de factores c en H2 ⁽ G , L * ⁾ da lugar a un álgebra de productos cruzados ^{[5] : 31A} , que es un K - álgebra que contiene a L como subcuerpo, generado por los elementos λ en L y u _g con multiplicación

${\displaystyle \lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},}$

${\displaystyle u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).}$

Los sistemas de factores equivalentes corresponden a un cambio de base en A sobre K. Podemos escribir

${\displaystyle A=(L,G,c).}$

El álgebra de productos cruzados A es un álgebra central simple (CSA) de grado igual a [ L  : K ]. ^[6] Se cumple la inversa: toda álgebra central simple sobre K que se descomponga sobre L y tal que deg A = [ L  : K ] surge de esta manera. ^[6] El producto tensorial de las álgebras corresponde a la multiplicación de los elementos correspondientes en H ² . Obtenemos así una identificación del grupo de Brauer , donde los elementos son clases de CSA sobre K , con H ² . ^{[7] [8]}

Restringámonos aún más al caso en que L / K es cíclico con grupo de Galois G de orden n generado por t . Sea A un producto cruzado ( L , G , c ) con conjunto de factores c . Sea u = u _t el generador en A correspondiente a t . Podemos definir los otros generadores

${\displaystyle u_{t^{i}}=u^{i}\,}$

y entonces tenemos u ⁿ = a en K . Este elemento a especifica un cociclo c por ^{[5] : 33}

${\displaystyle c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{si }}i+j<n,\\a&{\text{si }}i+j\geq n.\end{cases}}}$

Por lo tanto, tiene sentido denotar A simplemente por ( L , t , a ). Sin embargo, a no está especificado de forma única por A ya que podemos multiplicar u por cualquier elemento λ de L ^* y luego a se multiplica por el producto de los conjugados de λ. Por lo tanto, A corresponde a un elemento del grupo de residuos de la norma K ^* / N _{L / K} L ^* . Obtenemos los isomorfismos

${\displaystyle \operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).}$

• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Universitext. Traducido del alemán por Silvio Levy. Con la colaboración del traductor. Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-72487-4.Zbl 1130.12001  .
• Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-57029-2.Zbl 0874.16002  .
• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie. Vol. 28. Oxford University Press . ISBN. 0-19-852673-3.Zbl 1024.16008  .
• Saltman, David J. (1999). Lecciones sobre álgebras de división . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 94. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0979-2.Zbl 0934.16013  .