Experimento factorial

En estadística , un experimento factorial (también conocido como experimento factorial completo ) investiga cómo múltiples factores influyen en un resultado específico, denominado variable de respuesta . Cada factor se prueba con valores o niveles distintos, y el experimento incluye todas las combinaciones posibles de estos niveles para todos los factores. Este enfoque integral permite a los investigadores observar no solo cómo cada factor afecta individualmente la respuesta, sino también cómo interactúan e influyen entre sí.

A menudo, los experimentos factoriales simplifican las cosas al usar solo dos niveles para cada factor. Un diseño factorial 2x2, por ejemplo, tiene dos factores, cada uno con dos niveles, lo que da como resultado cuatro combinaciones únicas para probar. La interacción entre estos factores suele ser el hallazgo más importante, incluso cuando los factores individuales también tienen un efecto.

Si un diseño factorial completo resulta demasiado complejo debido a la gran cantidad de combinaciones, los investigadores pueden utilizar un diseño factorial fraccionado . Este método omite estratégicamente algunas combinaciones (generalmente al menos la mitad) para que el experimento sea más manejable.

Estas combinaciones de niveles de factores a veces se denominan rachas (de un experimento), puntos (viendo las combinaciones como vértices de un gráfico ) y celdas (que surgen como intersecciones de filas y columnas).

Los diseños factoriales fueron utilizados en el siglo XIX por John Bennet Lawes y Joseph Henry Gilbert de la Estación Experimental de Rothamsted . ^{[ 1 ]}

Ronald Fisher argumentó en 1926 que los diseños "complejos" (como los diseños factoriales) eran más eficientes que estudiar un factor a la vez. ^{[ 2 ]} Fisher escribió:

Ningún aforismo se repite con más frecuencia en relación con los experimentos de campo que el de que debemos hacerle pocas preguntas a la naturaleza, o, idealmente, una sola a la vez. El autor está convencido de que esta idea es totalmente errónea. Sugiere que la naturaleza responderá mejor a un cuestionario lógico y cuidadosamente elaborado; de hecho, si le hacemos una sola pregunta, a menudo se negará a responder hasta que se haya tratado otro tema.

Un diseño factorial permite determinar el efecto de varios factores e incluso las interacciones entre ellos con el mismo número de ensayos que los necesarios para determinar cualquiera de los efectos por sí solo con el mismo grado de precisión.

Frank Yates realizó importantes contribuciones, en particular en el análisis de diseños, mediante el análisis de Yates .

Es posible que el término "factorial" no se haya utilizado en la prensa antes de 1935, cuando Fisher lo empleó en su libro El diseño de experimentos . ^{[ 3 ]}

Muchas personas examinan el efecto de un solo factor o variable. En comparación con estos experimentos de un factor a la vez (OFAT), los experimentos factoriales ofrecen varias ventajas ^{[ 4 ] [ 5 ].}

• Los diseños factoriales son más eficientes que los experimentos OFAT. Proporcionan más información a un costo similar o inferior. Permiten encontrar las condiciones óptimas más rápidamente que los experimentos OFAT.
• Cuando el efecto de un factor difiere según los distintos niveles de otro factor, un diseño experimental OFAT no puede detectarlo. Se requieren diseños factoriales para detectar dichas interacciones . El uso de OFAT en presencia de interacciones puede llevar a una interpretación errónea de cómo cambia la respuesta con los factores.
• Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en varios niveles de los demás factores, lo que da lugar a conclusiones válidas en un rango de condiciones experimentales.

La principal desventaja del diseño factorial completo es su requisito de tamaño de muestra, que crece exponencialmente con el número de factores o entradas considerados. ^{[ 6 ]} Las estrategias alternativas con eficiencia computacional mejorada incluyen diseños factoriales fraccionados , muestreo de hipercubo latino y técnicas de muestreo cuasialeatorio .

Ejemplo de ventajas de los experimentos factoriales

En su libro, Mejorando casi cualquier cosa: Ideas y ensayos , el estadístico George Box ofrece muchos ejemplos de los beneficios de los experimentos factoriales. He aquí uno. ^{[ 7 ]} Los ingenieros del fabricante de rodamientos SKF querían saber si cambiar a un diseño de "jaula" menos costoso afectaría la vida útil de los rodamientos . Los ingenieros pidieron ayuda a Christer Hellstrand, un estadístico, para diseñar el experimento. ^{[ 8 ]}

Box informa lo siguiente. "Los resultados se evaluaron mediante una prueba de vida acelerada. … Las pruebas fueron costosas porque debían realizarse en una línea de producción real y los experimentadores planeaban hacer cuatro pruebas con la jaula estándar y cuatro con la jaula modificada. Christer preguntó si había otros factores que quisieran probar. Dijeron que sí, pero que realizar pruebas adicionales excedería su presupuesto. Christer les mostró cómo podían probar dos factores adicionales "gratis", sin aumentar el número de pruebas y sin reducir la precisión de su estimación del efecto de la jaula. En este arreglo, llamado diseño factorial 2×2×2, cada uno de los tres factores se ejecutaría en dos niveles y se incluirían las ocho combinaciones posibles. Las diversas combinaciones se pueden mostrar convenientemente como los vértices de un cubo ... " "En cada caso, la condición estándar se indica con un signo menos y la condición modificada con un signo más. Los factores cambiados fueron el tratamiento térmico, la osculación del anillo exterior y el diseño de la jaula. Los números muestran las duraciones relativas de la vida útil de los rodamientos. Si observa [el gráfico del cubo], puede ver que la elección del diseño de la jaula no marcan una gran diferencia. … Pero, si se promedian los pares de números para el diseño de la jaula, se obtiene la [tabla a continuación], que muestra el efecto de los otros dos factores. … Esto condujo al extraordinario descubrimiento de que, en esta aplicación particular, la vida útil de un rodamiento puede quintuplicarse si se incrementan simultáneamente los dos factores: la oscilación del anillo exterior y los tratamientos térmicos del anillo interior.

Teniendo en cuenta que este tipo de rodamientos se fabrican desde hace décadas, resulta sorprendente que se haya tardado tanto en descubrir una mejora tan importante. Una posible explicación es que, dado que hasta hace poco la mayoría de los ingenieros solo experimentaban con un factor a la vez, se habían pasado por alto los efectos de interacción .

El experimento factorial más simple contiene dos niveles para cada uno de los dos factores. Supongamos que un ingeniero desea estudiar la potencia total utilizada por dos motores diferentes, A y B, que funcionan a dos velocidades distintas: 2000 o 3000 RPM. El experimento factorial constaría de cuatro unidades experimentales: motor A a 2000 RPM, motor B a 2000 RPM, motor A a 3000 RPM y motor B a 3000 RPM. Cada combinación de un solo nivel seleccionado de cada factor está presente una sola vez.

Este experimento es un ejemplo de un experimento factorial 2 ² (o 2×2), llamado así porque considera dos niveles (la base) para cada uno de los dos factores (la potencia o superíndice), o #niveles ^#factores , produciendo 2 ² =4 puntos factoriales.

Los diseños pueden involucrar muchas variables independientes. Como ejemplo adicional, los efectos de tres variables de entrada pueden evaluarse en ocho condiciones experimentales representadas por las esquinas de un cubo.

Esto puede realizarse con o sin replicación, según su propósito y los recursos disponibles. Proporcionará los efectos de las tres variables independientes sobre la variable dependiente y las posibles interacciones.

Los experimentos factoriales se describen mediante dos elementos: el número de factores y el número de niveles de cada factor. Por ejemplo, un experimento factorial 2×3 tiene dos factores, el primero con 2 niveles y el segundo con 3 niveles. Este experimento tiene 2×3=6 combinaciones de tratamientos o celdas. De manera similar, un experimento 2×2×3 tiene tres factores, dos con 2 niveles y uno con 3, para un total de 12 combinaciones de tratamientos. Si cada factor tiene s niveles (un diseño denominado de nivel fijo o simétrico ), el experimento se suele denotar por s ^k , donde k es el número de factores. Así, un experimento 2 ⁵ tiene 5 factores, cada uno con 2 niveles. Los experimentos que no son de nivel fijo se denominan de nivel mixto o asimétricos .

Existen diversas tradiciones para indicar los niveles de cada factor. Si un factor ya tiene unidades naturales, se utilizan estas. Por ejemplo, un experimento de acuicultura de camarones ^{[ 9 ]} podría tener como factores la temperatura a 25  °C y 35  °C, la densidad a 80 o 160 camarones/40 litros y la salinidad al 10 %, 25 % y 40 %. Sin embargo, en muchos casos, los niveles de los factores son simplemente categorías, y la codificación de los niveles es algo arbitraria. Por ejemplo, los niveles de un factor de 6 niveles podrían simplemente denotarse como 1, 2, ..., 6.

Las combinaciones de tratamientos se representan mediante pares ordenados o, más generalmente, tuplas ordenadas . En el experimento de acuicultura, la terna ordenada (25, 80, 10) representa la combinación de tratamientos con el nivel más bajo de cada factor. En un experimento general de 2×3, el par ordenado (2, 1) indicaría la celda en la que el factor A está en el nivel 2 y el factor B en el nivel 1. Los paréntesis suelen omitirse, como se muestra en la tabla adjunta.

Para denotar los niveles de los factores en experimentos 2k ^, aparecen tres sistemas particulares en la literatura:

• Los valores 1 y 0;
• los valores 1 y −1, a menudo abreviados simplemente como + y −;
• Una letra minúscula con el exponente 0 o 1.

Si estos valores representan configuraciones "baja" y "alta" de un tratamiento, entonces es natural que 1 represente "alta", ya sea usando 0 y 1 o −1 y 1. Esto se ilustra en la tabla adjunta para un experimento de 2×2. Si los niveles del factor son simplemente categorías, la correspondencia podría ser diferente; por ejemplo, es natural representar las condiciones "control" y "experimental" codificando "control" como 0 si se usa 0 y 1, y como 1 si se usa 1 y −1. ^{[ nota 1 ]} Un ejemplo de esto último se da a continuación . Ese ejemplo ilustra otro uso de la codificación +1 y −1.

Para otros experimentos de nivel fijo ( s ^k ), los valores 0, 1, ..., s −1 se utilizan a menudo para denotar los niveles de factor. Estos son los valores de los enteros módulo s cuando s es primo. ^{[ nota 2 ]}

La respuesta esperada a una combinación de tratamientos determinada se denomina media celular ^{[ 12 ]} , que se suele representar con la letra griega μ. (El término « celda» se toma prestado de su uso en tablas de datos ). Esta notación se ilustra aquí para el experimento de 2 × 3.

Un contraste de medias celulares es una combinación lineal de medias celulares cuyos coeficientes suman 0. Los contrastes son interesantes en sí mismos y constituyen los elementos básicos mediante los cuales se definen los efectos principales y las interacciones.

En el experimento 2 × 3 ilustrado aquí, la expresión

es un contraste que compara las respuestas medias de las combinaciones de tratamiento 11 y 12. (Los coeficientes aquí son 1 y –1). El contraste

Se dice que pertenece al efecto principal del factor A, ya que contrasta con las respuestas al nivel "1" del factor.${\displaystyle A}$con aquellos para el nivel "2". Se dice que el efecto principal de A está ausente si los valores verdaderos de la celda significan${\displaystyle \mu _{ij}}$Esta expresión es igual a 0. Dado que las medias reales de las celdas son inobservables en principio, se utiliza una prueba de hipótesis estadística para evaluar si esta expresión es igual a 0.

La interacción en un experimento factorial es la falta de aditividad entre factores, y también se expresa mediante contrastes. En el experimento 2 × 3, los contrastes

pertenecen a la interacción A × B ; la interacción está ausente (la aditividad está presente ) si estas expresiones son iguales a 0. ^{[ 13 ] [ 14 ]} La aditividad puede verse como una especie de paralelismo entre factores, como se ilustra en la sección de Análisis a continuación . Al igual que con los efectos principales, se evalúa el supuesto de aditividad realizando una prueba de hipótesis.

Dado que son los coeficientes de estos contrastes los que contienen la información esencial, a menudo se muestran como vectores columna . Para el ejemplo anterior, una tabla de este tipo podría verse así: ^{[ 15 ]}

Las columnas de dicha tabla se denominan vectores de contraste : la suma de sus componentes es igual a 0. Cada efecto está determinado tanto por el patrón de componentes en sus columnas como por el número de columnas .

Los patrones de los componentes de estas columnas reflejan las definiciones generales dadas por Bose : ^{[ 16 ]}

• Un vector de contraste pertenece al efecto principal de un factor particular si los valores de sus componentes dependen únicamente del nivel de ese factor.
• Un vector de contraste pertenece a la interacción de dos factores , digamos A y B , si (i) los valores de sus componentes dependen solo de los niveles de A y B , y (ii) es ortogonal (perpendicular) a los vectores ^de contraste que representan los efectos principales de A y B. ^{[ nota 3} ]

Definiciones similares son válidas para interacciones de más de dos factores. En el ejemplo de 2 × 3, por ejemplo, el patrón de la columna A sigue el patrón de los niveles del factor A , indicado por el primer componente de cada celda. De manera similar, el patrón de las columnas B sigue los niveles del factor B (ordenar por B facilita la visualización).

El número de columnas necesarias para especificar cada efecto son los grados de libertad del efecto, ^{[ nota 4 ]} y es una cantidad esencial en el análisis de varianza . La fórmula es la siguiente: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

• Un efecto principal para un factor con s niveles tiene s −1 grados de libertad.
• La interacción de dos factores con niveles s ₁ y s ₂ , respectivamente, tiene ( s ₁ −1)( s ₂ −1) grados de libertad.

La fórmula para más de dos factores sigue este patrón. En el ejemplo 2 × 3 anterior, los grados de libertad para los dos efectos principales y la interacción (el número de columnas para cada uno) son 1, 2 y 2, respectivamente.

Para más de dos factores, un experimento factorial ^2k generalmente se puede diseñar recursivamente a partir de un experimento factorial 2k ^{- 1 replicando} este último ^, asignando la primera réplica al primer nivel (o nivel bajo) del nuevo factor y la segunda réplica al segundo nivel (o nivel alto). Este marco se puede generalizar, por ejemplo , para diseñar tres réplicas para factores de tres niveles, etc.

Un experimento factorial permite estimar el error experimental de dos maneras. El experimento puede replicarse o, a menudo, se puede aprovechar el principio de escasez de efectos . La replicación es más común en experimentos pequeños y es una forma muy fiable de evaluar el error experimental. Cuando el número de factores es grande (normalmente más de cinco, aunque esto varía según la aplicación), la replicación del diseño puede resultar difícil. En estos casos, es común realizar una sola réplica del diseño y asumir que las interacciones entre factores de orden superior a cierto (por ejemplo, entre tres o más factores) son despreciables. Bajo esta suposición, las estimaciones de dichas interacciones de orden superior son estimaciones de un cero exacto, por lo que en realidad constituyen una estimación del error experimental.

Cuando hay muchos factores, serán necesarios muchos experimentos, incluso sin replicación. Por ejemplo, experimentar con 10 factores a dos niveles cada uno produce 2¹⁰ ⁼ 1024 combinaciones. En algún momento, esto se vuelve inviable debido al alto costo o a la insuficiencia de recursos. En este caso, se pueden utilizar diseños factoriales fraccionados .

Como en cualquier experimento estadístico, las ejecuciones experimentales en un experimento factorial deben aleatorizarse para reducir el impacto que el sesgo podría tener en los resultados experimentales. En la práctica, esto puede suponer un gran desafío operativo.

Los experimentos factoriales pueden utilizarse cuando cada factor tiene más de dos niveles. Sin embargo, el número de ensayos experimentales necesarios para diseños factoriales de tres niveles (o más) será considerablemente mayor que para los de dos niveles. Por lo tanto, los diseños factoriales resultan menos atractivos si un investigador desea considerar más de dos niveles.

Un experimento factorial puede analizarse mediante ANOVA o análisis de regresión . ^{[ 21 ]} Para calcular el efecto principal de un factor "A" en un experimento de 2 niveles, reste la respuesta promedio de todas las ejecuciones experimentales en las que A estuvo en su nivel bajo (o primero) de la respuesta promedio de todas las ejecuciones experimentales en las que A estuvo en su nivel alto (o segundo).

Otras herramientas útiles de análisis exploratorio para experimentos factoriales incluyen gráficos de efectos principales , gráficos de interacción , gráficos de Pareto y un gráfico de probabilidad normal de los efectos estimados.

Cuando los factores son continuos, los diseños factoriales de dos niveles asumen que los efectos son lineales . Si se espera un efecto cuadrático para un factor, se debe utilizar un experimento más complejo, como un diseño compuesto central . La optimización de factores que podrían tener efectos cuadráticos es el objetivo principal de la metodología de superficie de respuesta .

Ejemplo de análisis

Montgomery ^{[ 4 ]} da el siguiente ejemplo de análisis de un experimento factorial:.

Un ingeniero desea aumentar la tasa de filtración (producción) de un proceso químico y reducir la cantidad de formaldehído utilizada. Los intentos previos para reducir el formaldehído han disminuido la tasa de filtración. La tasa de filtración actual es de 75 galones por hora. Se consideran cuatro factores: temperatura (A), presión (B), concentración de formaldehído (C) y velocidad de agitación (D). Cada uno de estos cuatro factores se probará en dos niveles.

En adelante, los signos menos (−) y más (+) indicarán si el factor se ejecuta a un nivel bajo o alto, respectivamente.

• 
  Gráfico de los efectos principales que muestra las tasas de filtración para las configuraciones baja (−) y alta (+) para cada factor.
• 
  Gráfico de los efectos de interacción que muestra la tasa de filtración media en cada una de las cuatro combinaciones posibles de niveles para un par de factores dado.

Las líneas no paralelas en el gráfico de interacción A:C indican que el efecto del factor A depende del nivel del factor C. Un resultado similar se observa en la interacción A:D. Los gráficos indican que el factor B tiene poco efecto sobre la tasa de filtración. El análisis de varianza (ANOVA), que incluye los cuatro factores y todos los posibles términos de interacción entre ellos, arroja las estimaciones de los coeficientes que se muestran en la tabla a continuación.

Debido a que hay 16 observaciones y 16 coeficientes (intercepto, efectos principales e interacciones), no es posible calcular los valores p para este modelo. Los valores de los coeficientes y los gráficos sugieren que los factores importantes son A, C y D, y los términos de interacción A:C y A:D.

Los coeficientes de A, C y D son todos positivos en el ANOVA, lo que sugeriría ejecutar el proceso con las tres variables establecidas en el valor alto. Sin embargo, el efecto principal de cada variable es el promedio sobre los niveles de las otras variables. El gráfico de interacción A:C anterior muestra que el efecto del factor A depende del nivel del factor C, y viceversa. El factor A (temperatura) tiene muy poco efecto sobre la tasa de filtración cuando el factor C está en el nivel +. Pero el factor A tiene un gran efecto sobre la tasa de filtración cuando el factor C (formaldehído) está en el nivel −. La combinación de A en el nivel + y C en el nivel − da como resultado la tasa de filtración más alta. Esta observación indica cómo los análisis de un factor a la vez pueden pasar por alto interacciones importantes. Solo variando ambos factores A y C al mismo tiempo podría el ingeniero descubrir que el efecto del factor A depende del nivel del factor C.

La mejor tasa de filtración se observa cuando A y D están en un nivel alto y C en un nivel bajo. Este resultado también cumple con el objetivo de reducir el formaldehído (factor C). Dado que B no parece ser importante, se puede omitir del modelo. Al realizar el ANOVA con los factores A, C y D, y los términos de interacción A:C y A:D, se obtiene el resultado que se muestra en la siguiente tabla, donde todos los términos son significativos (valor p < 0,05).

Existen directrices de notificación para ensayos controlados aleatorizados factoriales, como la extensión CONSORT 2010 para la notificación de artículos sobre ensayos factoriales y la extensión SPIRIT 2013 para la notificación de protocolos de ensayos factoriales. ^{[ 22 ] [ 23 ]} En un documento explicativo y de desarrollo de las extensiones CONSORT y SPIRIT se proporcionaron explicaciones detalladas y ejemplos de buenas prácticas de notificación y realización. ^{[ 24 ]}

• Diseño combinatorio
• Diseño de experimentos
• Matriz ortogonal
• Diseño de Plackett-Burman
• Métodos de Taguchi
• Prueba t de Welch

• Diseños factoriales (Universidad Estatal de California, Fresno)
• GOV.UK Ensayos controlados aleatorizados factoriales (Salud Pública de Inglaterra)