número factorial

Los números factoriales satisfacen varias relaciones de recurrencia . Para${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n+1}=(n+1)\left(\operatorname {Ft} _{n}-{\frac {n^{2}-2}{2}}\right)}$

Y para${\displaystyle n\geq 2}$,

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=n\left(\operatorname {Ft} _{n-1}-{\frac {n^{2}-2n-1}{2}}\right)}$

Se trata de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes variables de orden 1.

La función generadora exponencial${\displaystyle E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Ft} _{n}{\tfrac {x^{n}}{n!}}}$para números factoriales es (para${\displaystyle -1<x<1}$)

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2-5x^{2}+2x^{3}+x^{4})e^{x}}{2(1-x)^{2}}}}$

Si la secuencia se extiende para incluir${\displaystyle \operatorname {Ft} _{0}=1}$, entonces la función generadora exponencial se convierte en

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2x-x^{2}-x^{3})e^{x}}{2(1-x)}}}$.

Los números factoriales a veces pueden expresarse como sumas de dos números triangulares:

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=2T_{n}}$si y solo si${\displaystyle n=1}$o${\displaystyle n=3}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{n}}$si y solo si${\displaystyle 8n!+1}$es un cuadrado perfecto. Para${\displaystyle n\neq x}$, la única solución conocida es${\displaystyle (\operatorname {Ft} _{5},T_{15})=(135,120)}$, donación${\displaystyle \operatorname {Ft} _{5}=T_{5}+T_{15}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{y}}$si y solo si${\displaystyle 8\operatorname {Ft} _{n}+2}$es la suma de dos cuadrados.

Algunos números factoriales pueden expresarse como la suma de dos cuadrados. Para${\displaystyle n\leq 20}$, los números factoriales que se pueden escribir como${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$para algunos números enteros${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$incluir:

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=1^{2}+1^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=1^{2}+2^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=3^{2}+5^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{9}=362,925=195^{2}+570^{2}}$

Este resultado está relacionado con el teorema de la suma de dos cuadrados , que establece que un entero positivo puede expresarse como suma de dos cuadrados si y solo si su factorización prima no contiene ningún factor primo de la forma${\displaystyle 4k+3}$elevado a un poder extraño.

Un número factoriangular de Fibonacci es un número que es a la vez un número de Fibonacci y un número factoriangular. Hay exactamente tres de estos números:

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=F_{3}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=F_{5}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=F_{9}}$

Este resultado fue conjeturado por Romer Castillo y posteriormente demostrado por Ruiz y Luca. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Un número factoriangular de Pell es un número que es a la vez un número de Pell y un número factoriangular. ^{[ 3 ]} Luca y Gómez-Ruiz demostraron que existen exactamente tres de estos números:${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2}$,${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5}$, y${\displaystyle \operatorname {Ft} _{3}=12}$. ^{[ 3 ]}

Un número catalán factoriangular es un número que es a la vez un número catalán y un número factoriangular. Los únicos números de este tipo son 1, 2 y 5. ^{[ 4 ]} También demostraron en el mismo artículo que los únicos coeficientes binomiales centrales que también son números factoriangulares son 1 y 2.