Dominio atómico

En matemáticas , más concretamente en teoría de anillos , un dominio atómico o dominio de factorización es un dominio integral en el que cada elemento distinto de cero y no unitario puede escribirse de al menos una forma como un producto finito de elementos irreducibles . Los dominios atómicos se diferencian de los dominios de factorización única en que esta descomposición de un elemento en irreducibles no tiene por qué ser única; dicho de otro modo, un elemento irreducible no es necesariamente un elemento primo .

Ejemplos importantes de dominios atómicos incluyen la clase de todos los dominios de factorización única y todos los dominios noetherianos . De manera más general, cualquier dominio integral que satisfaga la condición de cadena ascendente en los ideales principales (ACCP) es un dominio atómico. Aunque en el artículo de Cohn se afirma lo contrario , ^{[ 1 ]} se sabe que esto es falso. ^{[ 2 ]}

El término "atómico" se debe a P. M. Cohn , quien denominó "átomo" a un elemento irreducible de un dominio integral.

En esta sección, un anillo puede verse simplemente como un conjunto abstracto en el que se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación; análogo a los números enteros .

El anillo de los enteros (es decir, el conjunto de enteros con las operaciones naturales de suma y multiplicación) satisface muchas propiedades importantes. Una de ellas es el teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, al considerar anillos abstractos, surge la pregunta natural de bajo qué condiciones se cumple dicho teorema. Dado que un dominio de factorización única es precisamente un anillo en el que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética, esta pregunta se responde fácilmente. Sin embargo, cabe destacar que el teorema fundamental de la aritmética tiene dos aspectos: primero, que cualquier entero es el producto finito de números primos , y segundo, que este producto es único salvo reordenamiento (y multiplicación por unidades ). Por consiguiente, también es natural preguntarse bajo qué condiciones se pueden "descomponer" elementos particulares de un anillo sin requerir unicidad. El concepto de dominio atómico aborda esta cuestión.

Sea R un dominio de integridad . Si todo x distinto de cero y distinto de la unidad de R puede escribirse como un producto de elementos irreducibles , R se denomina dominio atómico. (El producto es necesariamente finito, ya que los productos infinitos no están definidos en la teoría de anillos . Dicho producto puede incluir el mismo elemento irreducible más de una vez como factor). Cualquier expresión de este tipo se denomina factorización de x .

En un dominio atómico, es posible que diferentes factorizaciones del mismo elemento x tengan longitudes diferentes. Incluso es posible que entre las factorizaciones de x no haya límite en el número de factores irreducibles. Si, por el contrario, el número de factores está acotado para cada x distinto de cero y distinto de la unidad , entonces R es un dominio de factorización acotado ( BFD ); formalmente, esto significa que para cada x de este tipo existe un entero N tal que si x = x ₁ x ₂ ... x _n sin que ninguno de los x _i sea invertible , entonces n < N.

Si existe tal límite, ninguna cadena de divisores propios de x a 1 puede exceder este límite en longitud (ya que el cociente en cada paso puede factorizarse, produciendo una factorización de x con al menos un factor irreducible para cada paso de la cadena), por lo que no puede haber ninguna cadena estrictamente ascendente infinita de ideales principales de R. Esa condición, llamada condición de cadena ascendente en ideales principales o ACCP, es estrictamente más débil que la condición BFD y estrictamente más fuerte que la condición atómica (en otras palabras, incluso si existen cadenas infinitas de divisores propios, aún puede ser que cada x posea una factorización finita ^{[ 3 ]} ).

Dos condiciones independientes, ambas estrictamente más estrictas que la condición BFD, son la condición de dominio semicadificial ( HFD : cualesquiera dos factorizaciones de cualquier x tienen la misma longitud) y la condición de dominio de factorización finita ( FFD : cualquier x tiene un número finito de divisores no asociados ). Obviamente, todo dominio de factorización única satisface estas dos condiciones, pero ninguna implica factorización única.