Teorema de la falsa confianza

El teorema de la falsa confianza ^{[ 1 ]} sugiere que un analista no debería estar dispuesto a atribuir un alto grado de confianza a una afirmación basándose en datos de baja calidad. Una alta confianza en este caso sería injustificada; la confianza depositada en la afirmación podría considerarse falsa.

Esto requiere que asignar un bajo grado de creencia a una afirmación no implique un alto grado de creencia en la alternativa. Las medidas aditivas de creencia, como la probabilidad, no protegen al analista de cometer tal error debido a la dilución de la probabilidad. ^{[ 2 ]} Esto también afecta a aplicaciones como la calibración de modelos bayesianos, donde la incertidumbre aleatoria y epistémica se modela utilizando medidas aditivas de creencia. ^{[ 3 ]}

El ejemplo que motiva este análisis es el de predecir las trayectorias de dos satélites para determinar si colisionarán. ^{[ 1 ]} Se deben tomar medidas para evitar la colisión si esta es probable; de ​​lo contrario, se puede permitir que los satélites se alejen a una distancia segura. Se predice una colisión si la distancia de paso es menor que el radio de cada satélite.

La confianza errónea se hace más evidente cuando los datos disponibles para predecir la trayectoria de cada satélite son ruidosos o limitados. Esto genera una distribución predictiva de la distancia de paso con mayor varianza, por lo que, para una distancia de paso real dada, se reduce la probabilidad de colisión. Sin embargo, dado que la probabilidad es aditiva, la suma de las probabilidades de colisión y no colisión debe ser igual a 1. Por lo tanto, los datos de baja calidad también aumentan la probabilidad de no colisión.

Utilizar la probabilidad como medida de creencia presupone que la distancia de paso es, en efecto, una variable aleatoria . Si esto fuera cierto, se justificaría concluir que el aumento de la varianza respalda la predicción de no colisión. Sin embargo, la varianza en este caso proviene de la incertidumbre epistémica , y esto no afecta físicamente la trayectoria del satélite. Un mayor ruido en los datos no significa que el satélite tenga mayor capacidad para cambiar de trayectoria.

Un método de asignación de creencias para una afirmación${\displaystyle A}$respecto a un valor desconocido${\displaystyle \theta }$Se puede decir que está libre de falsa confianza si satisface el criterio de validez de Martin-Liu: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\text{P}}(x\sim X_{\theta }:{\text{Bel}}(A|x)\geq 1-\alpha )\leq \alpha ,\forall \alpha \in [0,1],A\subset \Omega _{\theta },{\text{st }}A\not \ni \theta .}$

Esto limita explícitamente la probabilidad de atribuir un alto grado de credibilidad a afirmaciones falsas.

Se requieren medidas de creencia no aditivas para protegerse contra la falsa confianza. Los modelos inferenciales se definen para asegurar que cumplan el criterio de validez de Martin-Liu. ^{[ 5 ]} Las estructuras de confianza consonánticas también satisfacen este criterio, ^{[ 6 ]} al igual que las distribuciones de confianza ^{[ 7 ]} y los cuadros de confianza ^{[ 8 ]} siempre que${\displaystyle A}$es un intervalo.