Factor Fano

En estadística , el factor de Fano ^{[ 1 ]} , al igual que el coeficiente de variación , es una medida de la dispersión de un proceso de conteo . Originalmente se utilizaba para medir el ruido de Fano en detectores de iones. Recibe su nombre de Ugo Fano , un físico italoamericano.

El factor Fano después de un tiempo${\displaystyle t}$se define como

${\displaystyle F(t)={\frac {\sigma _{t}^{2}}{\mu _{t}}},}$

dónde${\displaystyle \sigma _{t}}$es la desviación estándar y ${\displaystyle \mu _{t}}$es el número medio de eventos de un proceso de conteo después de cierto tiempo${\displaystyle t}$El factor de Fano puede considerarse como una especie de relación ruido-señal; es una medida de la fiabilidad con la que se puede estimar la variable aleatoria del tiempo de espera después de varios eventos aleatorios .

Para un proceso de conteo de Poisson , la varianza en el conteo es igual a la media del conteo, por lo que${\displaystyle F=1}$.

Para un proceso de conteo${\displaystyle N_{t}}$, el factor Fano después de un tiempo${\displaystyle t>0}$se define como,

${\displaystyle F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.}$

A veces, el límite a largo plazo también se denomina factor de Fano.

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t).}$

Para un proceso de renovación con tiempos de retención distribuidos de forma similar a una variable aleatoria${\displaystyle S}$, tenemos eso,

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t)=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.}$^{[ 2 ]}

Dado que tenemos que el lado derecho es igual al cuadrado del coeficiente de variación${\displaystyle c_{v}^{2}=\operatorname {Var} (S)/\operatorname {E} [S]^{2}}$, el lado derecho de esta ecuación también se conoce a veces como factor de Fano. ^{[ 3 ]}

Cuando se considera como la dispersión del número, el factor de Fano${\displaystyle F}$corresponde aproximadamente al ancho del pico de${\displaystyle N_{t}}$. Por lo tanto, el factor Fano se interpreta a menudo como la imprevisibilidad del proceso subyacente.

En los detectores de partículas , el factor de Fano resulta de que la pérdida de energía en una colisión no es puramente estadística. El proceso que da origen a cada portador de carga individual no es independiente, ya que el número de formas en que un átomo puede ionizarse está limitado por las capas electrónicas discretas . El resultado neto es una mejor resolución energética que la predicha por consideraciones puramente estadísticas. Por ejemplo, si w es la energía promedio para que una partícula produzca un portador de carga en un detector, entonces la resolución FWHM relativa para medir la energía de la partícula E es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle R={\frac {\mathrm {FWHM} }{\mu }}=2.35{\sqrt {\frac {Fw}{E}}},}$

donde el factor de 2,35 relaciona la desviación estándar con el FWHM.

El factor de Fano es específico del material. Su valor muestra una correlación empírica con${\displaystyle W/I}$para gases,${\displaystyle F=0.188W/I-0.15}$, donde W es la energía media requerida para formar un par de ionización e I es el potencial de ionización . ^{[ 5 ]} Algunos valores teóricos de F son: ^{[ 6 ]}

Medir el factor de Fano es difícil porque muchos factores contribuyen a la resolución, pero algunos valores experimentales son:

El factor de Fano se utiliza en neurociencia para describir la variabilidad en los picos neuronales. ^{[ 13 ]} En este contexto, los eventos son los eventos de picos neuronales y los tiempos de retención son los intervalos entre picos (ISI). A menudo, se utiliza la definición límite del factor de Fano, para la cual,

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)}{(\operatorname {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},}$

dónde${\displaystyle CV}$es el coeficiente de variación de ISI.

Se ha descubierto que algunas neuronas tienen distribuciones ISI variables, lo que significa que el proceso de conteo ya no es un proceso de renovación. En cambio, se utiliza un proceso de renovación de Markov . En el caso de que solo tengamos dos estados de Markov con probabilidades de transición iguales${\displaystyle p}$, tenemos que el límite anterior vuelve a converger, ^{[ 14 ]}${\displaystyle F=2{\frac {CV_{2}^{2}\mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}+\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}},}$ dónde${\displaystyle \mu }$representa la media del ISI del estado correspondiente.

Si bien la mayoría de los trabajos asumen un factor de Fano constante, trabajos recientes han considerado neuronas con factores de Fano no constantes. ^{[ 15 ]} En este caso, se encuentra que los factores de Fano no constantes se pueden lograr introduciendo tanto ruido como no linealidad en la tasa del proceso de Poisson subyacente.

• Ruido de Fano
• Índice de dispersión : equivalente al factor de Fano para un intervalo de tiempo infinito.
• Ugo Fano